Ce n'est pas un paradoxe mais une double écriture possible du même nombre (désolé d'avance pour le manque de rigueur dans certains passages, mais ça permet d'alléger, de mieux comprendre et en plus, j'écris ce message en vitesse )
L'écriture décimale d'un nombre (à l'aide d'une virgule) est celle qu'on trouve communément autour de nous, comme les prix dans un magasin.
Un nombre est dit décimal quand son écriture décimale (voir ci-dessus) ne nécessite qu'un nombre limité de chiffres autres que 0 (après la virgule)
Exemples: 2,5463538
En effet, après le 8, il y a quelque chose, des 0. Mais on ne les écrit pas car il y en a une infinité ("et ce serait un peu long...surtout vers la fin")
Ensuite, il existe des nombres qui possèdent une infinité de chiffres différents de 0 après la virgule (les gens utilisent justement le ... pour symboliser le fait que l'écriture se répète sans cesse)
Si l'on considère le nombre représenté par l'écriture 0,99999... , on a tendance à croire intuitivement qu'il est différent de 1, qu'il est légèrement plus petit...mais il n'en est rien, ce sont deux écritures du même nombre.
Pour essayer de t'en persuader, dis toi que si ces deux écritures ne désignent pas le même nombre, tu peux alors en trouver un entre les deux...et alors comment pourrais-tu l'écrire...? tu es bloqué à cause des 9...
Ceci n'est pas une preuve, juste un "ah ah" mais des calculs pas plus compliqués que ceux que tu as exposés peuvent le démontrer de façon rigoureuse.
Une chose qui complique aussi la vision de ceci, c'est que la notion d'infini s'invite et il faut bien différencier 1,33 de 1,33333.... (les élèves et leur déesse calculatrice en font les frais chaque année...)
Cet exemple soulève une question: l'unicité d'une telle écriture.. On parle alors d'un développement décimal impropre pour le 0,999999...
Pour finir, tout nombre décimal peut s'écrire de deux façons: avec une infinité de 0 ou avec une infinité de 9...
Exemple : 3,69786 est 3,69786000.... et 3,6978599999....
J'espère que ça répond un peu à ta question, désolé si je suis flou, je viens d'écrire cela un peu rapidement, je dois chopper le prochain train!
à plus Jac!
PS: pour l'exemple du gâteau, il ne s'agit donc pas des morceaux laissés sur la lame du couteau...