Probabilté pour avoir 2 Jeux ordonnés de la même façon

[bob (Patrice)]

Il y a 2 heures, Frantz (CC Magique !) a dit :

pour ma part, dans une discussion mathématique, quand un terme a un sens mathématique, je l'utilise dans ce sens...

OK. Alors allons-y. Ce qui suit se trouve dans n'importe quel cours de proba.

Pour pouvoir étudier sérieusement une expérience aléatoire, on définit préalablement un espace probabilisé qui servira de cadre mathématique à cette expérience :

Un espace probabilisé est un objet mathématique défini par un triplet formé : d'un espace des réalisations, d'un ensemble d'événements et d'une fonction F de l'ensemble des événements vers l'intervalle réel [0,1].

Un événement certain dans cet espace probabilisé signifie que la fonction F vaut 1 pour cet événement (c'est une simple définition, pas un théorème).

Il y a 2 heures, Frantz (CC Magique !) a dit :

La probabilité d'un événement associé à une expérience aléatoire change au cours du temps, change au fur et à mesure que l'expérience progresse... Et, une fois expérience terminée, la probabilité de cet événement est soit 1 soit 0. C'est tout ce que je dis depuis le début...

Ben non. Une fois l'expérience démarrée, la fonction F définie dans l'espace probabilisé associé indique précisément la probabilité de chaque événement. Si un événement avait une probabilité donnée, elle ne changera pas.

Libre à toi de vouloir changer cette probabilité. Mais pour cela il faut que tu changes la fonction F. Tu peux construire un autre espace probabilisé où tu reprendras un espace des réalisations analogue, un ensemble d'événements analogue et où tu changeras la fonction F. Mais dans ce cas, tu changes l'un des éléments du triplet et on ne sera plus dans le même espace probabilisé. Le cadre aura changé et tu auras changé d'expérience.

Il y a 2 heures, Frantz (CC Magique !) a dit :

La probabilité d'un même événement peut changer au cours du temps, c'est peut-être cela qui vous pose problème, je ne sais pas...

Ben oui. Ça me pose problème. Et si tu as bien lu ce qui précède, j'espère que tu as compris pourquoi.

Bob

[Frantz RÉJASSE]

Il y a 2 heures, bob (Patrice) a dit :

Un événement certain dans cet espace probabilisé signifie que la fonction F vaut 1 pour cet événement (c'est une simple définition, pas un théorème).

Oui, oui, oui, parfaitement d'accord...

Il y a 2 heures, bob (Patrice) a dit :

Si un événement avait une probabilité donnée, elle ne changera pas.

C'est là où tu te trompes... Je pense que tu la définition de ce qu'est un "événement" en probabilité est floue pour toi... Un événement est un sous-ensemble de l'univers associé à une expérience aléatoire. Encore une fois, l'événement "le tirage du Loto du 10 avril 2024 est 1, 9, 18, 33, 39 et 2" n'a pas la même probabilité suivant que cette phrase est prononcée le 9 avril ou le 11 avril... C'est une probabilité conditionnelle "évidente" : P(A/A) ("P de A sachant A"), qui est égale à 1 bien sûr...

Je veux bien que l'on alterne entre cadre général formel et exemples du quotidien, mais il faut rester très rigoureux... La "fonction F de l'ensemble des événements vers l'intervalle réel [0,1]" dont tu me parles, qui est juste la définition du terme probabilité (et c'est comme cela qu'on l'appelle depuis le début de notre conversation), n'est :

1. Pas forcément définie explicitement ;

2. Pas forcément la même suivant l'état d'avancée de l'expérience aléatoire.

Relis mes exemple (Loto, roulette, tirage de cartes, tirage de dés), les univers que je considère, les événements que je considère et leurs probabilités associées... Franchement, et encore une fois sans condescendance, ni ironie, tous mes messages sont des exemples classiques d'un cours de maths de niveau seconde... Vraiment, il n'y a aucun mépris dans cette remarque et il n'y a pas de mal à ne pas les comprendre... C'est juste que je ne vois pas comment être plus clair, être plus pédagogique...

Mais tout cela n'est pas grave, la vie est belle...  Et j'ai hâte qu'on le boive ce verre Bob, on ne parlera pas de probas, promis !  

[Frédéric NAUD]

Frantz, en fait les notions qui te manquent pour décrire ce que tu veux dire, sont celles de produits cartésien pour ton Omega et de proba conditionnelle. On ne peut pas faire rentrer la notion de temps tel que tu le fais dans un espace probabilisé.

Considère l'expérience élémentaire du jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée.

Pour décrire l'expérience qui consiste en un seul lancer, ton Omega peut simplement être : {P,F}. P pour pile et F pour face. Ta loi de probabilité sera tout simplement p(P)=p(F)=1/2.

Si tu veux étudier ce qui se passe en la répétant plusieurs fois, ton espace Omega doit être adapté. Faisons simple : on lance la pièce deux fois de suite. Omega est l'ensemble des couples (x;y) avec x et y valant P (pile) ou F (face). Il s'agit du produit cartésien {P,F}×{P;F} c'est à dire Omega = {(P;P),(P;F),(F;P),(F;F)}. La probabilité de l'événement A " obtenir Pile au 1er lancer" est égale 1/2 est rien d'autre puisque les issues favorables sont (P,P) et (P,F), soit deux issues favorables sur un total de 4 issues. Pour obtenir ce qui t'intéresse et ta probabilité égale à 1, il faut définir une probabilité conditionnelle qui n'est pas définie de la même façon que la probabilité de base.

En fait on peut assimiler les événements aux parties de Omega. Ici A={(P,P);(P,F)}.

On peut définir la probabilité conditionnelle par :

pA  de Omega dans [0;1] qui à un évènement B associe pA(B) = p(B inter A)/p(A). J'ai noté B inter A l'intersection de A et B, l'événement "A et B sont réalisés tous les deux".

En clair, la probabilité d'un événement B sachant que A est réalisé est la probabilité que les deux soient réalisés divisée par celle que A se réalise.

Ce qui est égal 1, c'est la probabilité d'obtenir pile au 1er lancer sachant qu'on a obtenu pile au 1er lancer ! :

pA(A) = p(A inter A)/p(A) =p(A)/p(A)=1.

Bob avait touché le nœud du problème en disant que si tu considérait qu'un événement s'était produit, il fallait modifier ta fonction probabilité, et déjà l'ensemble de définition (et donc les événements auxquels elle s'applique).

 

Il y a 4 heures, Frédéric NAUD a dit :

Ce qui est égal 1, c'est la probabilité d'obtenir pile au 1er lancer sachant qu'on a obtenu pile au 1er lancer ! :

pA(A) = p(A inter A)/p(A) =p(A)/p(A)=1.

J'aurais même dû écrire : "Ce qui est égal 1, c'est la probabilité d'obtenir pile au 1er lancer sachant qu'on obtient pile au 1er lancer ! "

L'emploi du passé amène la confusion. Il peut faire croire que la fonction probabilité évolue au cours du temps, alors que c'est juste qu'une autre fonction devient plus pertinente si on sait déjà quelque chose sur le résultat de l'expérience.

Modifié 12 avril 2024 par Frédéric NAUD

[bob (Patrice)]

Il y a 1 heure, Frantz (CC Magique !) a dit :

C'est là où tu te trompes... Je pense que tu la définition de ce qu'est un "événement" en probabilité est floue pour toi... Un événement est un sous-ensemble de l'univers associé à une expérience aléatoire. Encore une fois, l'événement "le tirage du Loto du 10 avril 2024 est 1, 9, 18, 33, 39 et 2" n'a pas la même probabilité suivant que cette phrase est prononcée le 9 avril ou le 11 avril... C'est une probabilité conditionnelle "évidente" : P(A/A) ("P de A sachant A"), qui est égale à 1 bien sûr...

Tu confonds P(A) et P(A|A) !

• A = "le tirage du Loto du 10 avril 2024 est 1, 9, 18, 33, 39 et 2 "
• A|A = "le tirage du Loto du 10 avril 2024 est 1, 9, 18, 33, 39 et 2  sachant que le tirage du Loto du 10 avril 2024 est 1, 9, 18, 33, 39 et 2 "

==> P(A) = 1/19 millions et des poussières
==> P(A/A) ("P de A sachant A") est égal à 1 bien sûr, toujours, dans tous les cas, quelle que soit la date, que A ait été ou non encore réalisé ... et ce, quelle que soit la valeur de P(A) qui reste ce qu'elle est : 1/19 millions et des poussières.

Il y a 1 heure, Frantz (CC Magique !) a dit :

Franchement, et encore une fois sans condescendance, ni ironie, tous mes messages sont des exemples classiques d'un cours de maths de niveau seconde... Vraiment, il n'y a aucun mépris dans cette remarque et il n'y a pas de mal à ne pas les comprendre... C'est juste que je ne vois pas comment être plus clair, être plus pédagogique...

Franchement, et moi aussi sans condescendance, j'ai suivi les cours de maths de seconde ... et j'ai même poussé jusqu'en maths spé M (j'ai même fait 5/2 !). Je n'en fais pas un argument d'autorité mais c'est juste pour lever une éventuelle ambiguïté sur mes connaissances. Et j'accepte l'idée que même avec des bases solides on puisse avoir des raisonnement biaisés. Surtout que depuis il a coulé de l'eau sous les ponts ...

Il y a 1 heure, Frantz (CC Magique !) a dit :

C'est juste que je ne vois pas comment être plus clair, être plus pédagogique...

Moi non plus !!

Il y a 1 heure, Frantz (CC Magique !) a dit :

Mais tout cela n'est pas grave, la vie est belle...  Et j'ai hâte qu'on le boive ce verre Bob, on ne parlera pas de probas, promis !  

Tu as raison. Visiblement, sur les probas, y'a du boulot pour se mettre d'accord ! Et la vie est belle, enfin surtout pour nous ... car malheureusement ce n'est pas le cas pour tout le monde en moment.

Je pense qu'on sera plus en phase sur la magie. Et sincèrement, je pense que tu en connais beaucoup plus que moi sur ce sujet.

Je prognostique que l'événement "Frantz et Bob boive un verre sans parler de proba" a une probabilité de ... 1 (à l'échelle de l'univers, bien entendu ).

Bob

Modifié 12 avril 2024 par bob (Patrice)

[Frédéric NAUD]

il y a 23 minutes, bob (Patrice) a dit :

Tu confonds P(A) et P(A|A)

Ce qui je pense vous mettra d'accord :

La notation P(A\A) est trompeuse. La fonction P n'est pas la même que dans P(A). Il est plus clair de noter PA(A) et de façon générale PA(B) la probabilité de B sachant A. "La probabilité de B sachant A" ne veut pas dire qu'on applique la même loi de probabilité que pour P(A) mais pour un "évènement" qui serait "B sachant A". C'est délicat parce qu'intuitivement, on s'imagine une loi de probabilité "absolue" qui s'appliquerait à n'importe quel évènement possible et imaginable dans l'univers ultime. En maths c'est pas ça. Il faut un modèle précis : l'univers doit être défini, la loi de proba aussi.

[Patrick FROMENT]

Le 11/04/2024 à 23:52, Christian GIRARD a dit :

Et cela fait des années qu’on développe ces sujets dans Les Chemins de traverse, moins visités hélas que le forum général mais où ces questions sont débattues parfois avec âpreté. 

Oui !

Finalement ces considérations de haute volée sur les 52! possibilités d'un jeu de 52 cartes mélangées nous font toucher l'étonnement voire le vertige métaphysique et cette émotion là est, effectivement, magique !

[Christian GIRARD]

Il y a 19 heures, Frantz (CC Magique !) a dit :

si j'appelle Oméga l'univers de l'ensemble des résultats possibles de cette expérience

Appelons donc cet univers Oméga-3 : on connaît les bienfaits des acides gras polyinsaturés.

Par ailleurs : 

Citation

Le corps humain peut convertir les oméga-3 à chaine courte nommé ALA

Notez qu’ALA est courte alors qu’Allah est grand. 

On s’aperçoit que mélanger les cartes brouille les pistes (non, ce n’est pas une contrepèterie). Je continue à penser qu’on peut mélanger autant de jeux qu’on veut il existe toujours une probabilité non nulle qu’ils se retrouvent tous organisés de façon identique à la fin des mélanges. Ce n’est pas une question de taille ou de durée de l’Univers mais une simple réalité mathématique. Me trompé-je ? 
 

[Jean-Luc THIEFIN]

Oui effectivement même si le jeu avait non pas seulement 52 cartes mais plutôt 52! cartes différentes et qu'on le mélange deux fois de suite il y aurait encore 1 chance que les deux jeux mélangés soient identiques. 

J'oserai même affirmer sans craindre l'opprobre que si le jeu avait non pas seulement 52! misérables cartes, mais 52!x 52!x52!x52!x52!x52!x52!x52!x52!x52!x52! à la puissance un milliard cartes différentes ( faire un saut de coupe serait ardu) et qu on le mélange deux fois de suite on pourrait espérer voir le même résultat pour chaque mélange.

Et on peut continuer ainsi à démultiplier 52! autant de fois qu'on veut, on pourra toujours affirmer qu'il existe 1 chance d'avoir 2 mélanges identiques.

Tout ça est scientifiquement exact et il faut l'admettre si on est rationnel.

Ce n'est seulement,comme dit Christian, qu'une "simple réalité mathématique" parmi d'autres. C'est un fait. Et après avoir dit ça on se demande éventuellement ce qu'on peut faire avec cette réalité mathématique...

 

[Frantz RÉJASSE]

Le 12/04/2024 à 20:15, Frédéric NAUD a dit :

Frantz, en fait les notions qui te manquent pour décrire ce que tu veux dire, sont celles de produits cartésien pour ton Omega et de proba conditionnelle. On ne peut pas faire rentrer la notion de temps tel que tu le fais dans un espace probabilisé.

Entièrement d'accord avec l'intégralité du message que tu viens d'écrire, et les suivants, et ceux de Bob aussi...  (Les notions ne me manquent pas et je comprends parfaitement ce que tu as écrit, mais j'ai effectivement commis quelques "abus de langages" (doux euphémisme...) Mea culpa...  )

Ça m'a trotté dans la tête cette nuit et j'allais venir écrire un message pour essayer d'expliquer ce que tu viens de faire (bien mieux que je ne l'aurais fait...  )

Mais je n'ai pas écrit que de la "bouillie" non plus...  C'est quand j'ai essayé de détailler mon exemple du Loto et que j'ai parlé de "proba qui change au cours du temps", que c'est effectivement n'importe quoi. Les expériences aléatoires ne sont plus les mêmes, et leur loi de proba non plus, et formellement, comme l'a dit Bob dans un message, il faudrait les appeler P1 et P2 du coup, ce que j'ai raccourci un peu comme un bourrin en "On l'appelle P mais il a changé au cours du temps" (et ça c'est n'importe quoi, pardon !  )

Mais, au finale, on est bien d'accord sur une chose : la probabilité d'obtenir un résultat sachant que l'on a obtenu ce résultat est bien égale à 1...  (C'est juste ça que j'ai essayé – très maladroitement – d'expliquer...  )

Il y a 23 heures, bob (Patrice) a dit :

Visiblement, sur les probas, y'a du boulot pour se mettre d'accord !

Non, non, sur les probas en particulier (et les maths en général), on finira toujours par se mettre d'accord, si on prend le temps de suffisamment expliquer et essayer de comprendre...  Les incompréhensions viennent de notre langage humain et de sa globale imprécision... Mais quand on est entre gens gentils et respectueux (et patients !  ), on finit toujours par comprendre où étaient nos propres erreurs et incompréhensions, et on arrivera à "être d'accord", puisque les maths "sont"...  

Merci pour cette discussion en tout cas, ça m'a fait du bien de replonger un peu dans tout ça (les maths ne sont plus mon quotidien depuis longtemps... et ça se sent visiblement...  )

Frédéric, tu es invité bien sûr à notre coup à boire avec Bob !  

Belle journée à toutes et à tous !  

 

Le 12/04/2024 à 20:15, Frédéric NAUD a dit :

Bob avait touché le nœud du problème en disant que si tu considérait qu'un événement s'était produit, il fallait modifier ta fonction probabilité, et déjà l'ensemble de définition (et donc les événements auxquels elle s'applique).

 

Le 12/04/2024 à 20:15, Frédéric NAUD a dit :

L'emploi du passé amène la confusion. Il peut faire croire que la fonction probabilité évolue au cours du temps, alors que c'est juste qu'une autre fonction devient plus pertinente si on sait déjà quelque chose sur le résultat de l'expérience.

Je remets juste en exergue ces deux parties de ton message qui sont parfaitement bien expliquées et qui étaient la seule raison de notre "incompréhension"... Vraiment merci d'avoir pris le temps d'écrire cela !  

[Frédéric NAUD]

il y a 38 minutes, Frantz (CC Magique !) a dit :

Mais je n'ai pas écrit que de la "bouillie" non plus...

Évidemment non. C'était une allusion à ce cher Louis de Funès. Bonne journée à toi aussi.

Modifié 13 avril 2024 par Frédéric NAUD