Probabilté pour avoir 2 Jeux ordonnés de la même façon

[bob (Patrice)]

Il y a 20 heures, Frédéric NAUD a dit :

Le problème qui m'agace est le suivant : en ayant choisi un premier nombre a, par exemple a =1000, y a-t-il plus de chances, en choisissant un 2ème nombre b au hasard, différent de 1000, qu'il soit inférieur à 1000 ou au contraire plus de chances qu'il soit supérieur à 1000 ? Je pense que c'est kif-kif : on peut facilement construire une bijection de ]-infini;1000[U]1000;+infini[ sur ]-infini;1000[U]1000;+infini[ : f : x donne x - 1000. On se ramène au cas ou a = 0 en résumé. Personne ne sera choqué si je dis qu'en choisissant un 2ème nombre b au hasard, différent de 0, il y a autant de chances qu'il soit inférieur à 0 que de chances qu'il soit supérieur à 0.

Le problème est de définir une loi de probabilité uniforme pour une variable aléatoire pouvant prendre comme valeur tous les réels différents de a...

La théorie des probabilités sur des "espaces de réalisations" (ou univers) finis est déjà plein de pièges cognitifs. Autant dire que dans les univers infinis dénombrables, voire non dénombrables, c'est encore pire !

Exemple :

Révélation

En bon français, "possible" signifie que l'évènement est probable, donc d'une probabilité non nulle. Eh bien pas en langage mathématique : dans un univers probabilisé infini, un événement peut être "possible" et être associé à une probabilité nulle.

Cela montre que le langage courant est insuffisant dès que l'on veut raisonner avec un minimum d'ambiguïté (il en reste toujours ...). Comme me l'a enseigné un prof de math il y a longtemps (trop longtemps), La Mathématique (il ne disait pas Les Mathématiques) n'est en réalité qu'un langage, langage dans lequel on formule des axiomes à partir desquels on tient des raisonnements que l'on peut se permettre de qualifier de "démonstrations".

Dans l'axiomatique de Kolmogorov, il n'existe pas de loi équiprobable sur l'ensemble des entiers naturels N qui est dénombrable. Mais il en existe sur n'importe quel intervalle réel [a,b] qui lui n'est pas dénombrable … Si ça c'est pas contre-intuitif !

Je suis d'accord avec ton raisonnement. Mais je me garderai bien d'essayer de répondre à la question sur l'existence  d'une loi de probabilité uniforme sur R (ou sur R sauf x) . Je déclare forfait et je retourne à mes foulards !

Bob

P.S. : Kolmogorov est mort. Dommage, on aurait pu lui poser la question.

Bob

Modifié 15 avril 2024 par bob (Patrice)

[Invité]

Le 14/04/2024 à 13:50, Frédéric NAUD a dit :

 

Le problème est de définir une loi de probabilité uniforme pour une variable aléatoire pouvant prendre comme valeur tous les réels différents de a..

Frédéric, pourquoi penser que cette loi de probabilité à densité que tu recherches dans ce jeu est une loi de probabilité uniforme depuis le départ? 

Sans entrer dans de gigantesques considérations:

Voici une fonction de la variable réelle x 

f : x|- > Ex/(Ex + 1)  où Ex désigne de manière farfelue exponentielle de x

Que peux tu me dire sur cette fonction, peut elle définir une fonction de densité de probabilité tout d'abord? Si oui une étude sommaire de la fonction pourrait nous aider. En quoi on verra après.

[Frédéric NAUD]

il y a une heure, Frédéric HÔ a dit :

Que peux tu me dire sur cette fonction, peut elle définir une fonction de densité de probabilité tout d'abord? Si oui une étude sommaire de la fonction pourrait nous aider. En quoi on verra après

Ta fonction f peut définir une fonction de répartition pour une loi à densité. Ta fonction correspond à la courbe verte ci-dessus et la densité à la courbe rouge. L'intégrale de -infini à + infini est bien égale à 1. 

Je pense à une loi uniforme car pour le problème que je me suis posé (pas encore celui de ton jeu) si on considère la probabilité qu'un réel x  différent de 0 choisi au hasard soit supérieur à 0,  le nombre choisi doit, avoir autant de chances d'être par exemple dans l'intervalle [1;2] que dans l'intervalle [2;3] ou n'importe quel autre intervalle fermé de longueur 1, dans la mesure où il ne contient pas 0.  On doit avoir P(1<x<2) = P(2<x<3).

[Invité]

Propre. Ça peut nous aider donc.

Cette fonction f induit une bijection de IR sur ]0;1[ n'est ce pas. L'intérêt ici est donc de jouer non plus sur IR mais sur ]0;1[ de même cardinal mais qui lui est un borné. 

La stratégie alors est de choisir un nombre réel r au hasard et de regarder sa probabilité f(r) ( je passe toute la partie de construction rigoureuse et de langage IP(X=r) par gros abus de langage et flemme matinale ),

d'être tiré puis de le comparer à f(A) où A serait le nombre inscrit sur le papier choisi de mon jeu. Et voir si on peut en déduire des choses.

[Christian GIRARD]

il y a 24 minutes, Frédéric HÔ a dit :

de même cardinal mais qui lui est un borné. 

Richelieu aurait été d’un esprit plus ouvert ?

[Invité]

Il y a 22 heures, Frédéric HÔ a dit :

Propre. Ça peut nous aider donc.

Cette fonction f induit une bijection de IR sur ]0;1[ n'est ce pas. L'intérêt ici est donc de jouer non plus sur IR mais sur ]0;1[ de même cardinal mais qui lui est un borné. 

La stratégie alors est de choisir un nombre réel r au hasard et de regarder sa probabilité f(r) ( je passe toute la partie de construction rigoureuse et de langage IP(X=r) par gros abus de langage et flemme matinale ),

d'être tiré puis de le comparer à f(A) où A serait le nombre inscrit sur le papier choisi de mon jeu. Et voir si on peut en déduire des choses.

Si on ne peut rien en déduire, on regarde différemment.

Choisissons d'abord A avec sa probabilité f(A) et on le compare à un nombre réel s pris au hasard dans l'intervalle ]0;1[ . Puis on fixe les choses:

Si s < f(A) alors A est le plus grand nombre

Si s > f(A) alors A est le plus petit nombre

Avec cette stratégie, la probabilité de trouver le plus grand nombre est:

1/2f(G) +1/2(1 - f(P))

Où G désigne le nombre le plus grand et P le plus petit

Est ce que c'est vrai? Reste à le démontrer @Frédéric NAUD

Si oui c'est terminé car alors la probabilité  vaut:

1/2 + 1/2 (f(G) - f(P))

Et comme G > P avec la stricte monotonie de f cela donne f(G) > f(P)

Soit une probabilité strictement plus grande que 1/2.

 

[Mickaël MCD]

Le 16/04/2024 à 09:36, Christian GIRARD a dit :

Le 16/04/2024 à 09:10, Frédéric HÔ a dit :

de même cardinal mais qui lui est un borné. 

Richelieu aurait été d’un esprit plus ouvert ?

Ça dépend, faudrait peut-être demander à Claudia...

Révélation

 

[Jean-Luc THIEFIN]

Sans trop m'éloigner du sujet je vous signale que le mathématicien Wigderson vient de recevoir le prestigieux prix Turing suite à son travail sur les algorithmes informatiques.

En effet ceux-ci fonctionnent comme chacun sait selon des règles prédéfinies qui permettent donc de faire des prédictions. Mais celles-ci sont souvent biaisées dans le monde réel où le hasard et l'aléatoire viennent pointer leur nez chroniquement.

Il a fait une superbe découverte:il a introduit de l'aléatoire dans des algorithmes et constaté que cela simplifiait ( paradoxalement) la résolution de problèmes complexes ( justement complexes car faisant intervenir l'aléatoire)!!.

Et cerise sur le gâteau il a montré que si inversement on retirait l'aléatoire d'algorithmes probabilistes on obtenait des algorithmes déterministes!!!

J'ai immédiatement pensé à regarder ce que cela pouvait donner avec des algorithmes utilisés dans certaines procédures de routines de magie; j'y ai introduit du hasard et miracle , cela semble exploitable! 

 

[Invité]

il y a une heure, Jean-Luc THIEFIN a dit :

Sans trop m'éloigner du sujet je vous signale que le mathématicien Wigderson vient de recevoir le prestigieux prix Turing suite à son travail sur les  algorithmes informatiques.

Profitons en pour ne pas bouder l'excellence de par chez nous en célébrant ce Monsieur incroyablement humble et pourtant un cador ( en probabilité en autres) qu'est le mathématicien Michel Talagrand qui a reçu en mars le prix Abel.

[Frédéric NAUD]

Je pense avoir prouvé ce qui suit :

Avec ce processus :

le joueur 1 marque au hasard un nombre x de [0;1] sur un papier puis un nombre y de [0;1] différent de x sur un autre papier, le joueur 2 choisit au hasard un des deux papiers,

le joueur 2 a une chance sur 2 d'avoir le plus grand des deux nombres x et y s'il garde le nombre du papier qu'il a choisi (stratégie 1),

il a 3 chances sur 4 d'avoir le plus grand des deux nombres x et y s'il opte pour la stratégie 2 : garder le nombre du papier qu'il a choisi si celui-ci est supérieur ou égal à 1/2, prendre le nombre du papier qu'il n'a pas choisi sinon.

Preuve (j'espère) ici :

jeu Frédéric Hô.pdf