Possibilités de votre Jeu de 52 Cartes

[Frédéric NAUD]

Il y a 14 heures, Frédéric NAUD a dit :

Oui mais pas celle qui pourrait nous occuper ici pas vrai ?

En tout cas même sur un intervalle de type [a;b] pour le choix des réels (là ton pb est modélisable après avoir noté le 1er réel x  sur un des papiers : en notant y le 2ème réel choisi, différent de x, P(y>x) = (b-x)/(b-a) et P(y<x) = 1-P(y>x) = (x- a)/(b-a)), la réponse est toujours 1/2 grâce par exemple à la formule de la probabilité totale.

 

Il y a 18 heures, Frédéric NAUD a dit :

Pour définir la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle, il faut que son intégrale sur l'ensemble des valeurs possibles de la variable soit égale à 1.

Oups j'ai parlé de fonction de répartition en lieu et place de densité de probabilité. La seconde est une intégrale définie à partir de la 1ère.

 

Je ne vois en tout cas pas d'autres façons pour intégrer la taille des nombres (même si elle ne change rien à la réponse...) à la modélisation de ton problème.

On est d'accord ?

Modifié 14 avril 2024 par Frédéric NAUD

[Invité]

il y a 3 minutes, Frédéric NAUD a dit :

Je ne vois en tout cas pas d'autres façons pour intégrer la taille des nombres (même si elle ne change rien à la réponse...) à la modélisation de ton problème.

On est d'accord ?

Rires. Je laisse mûrir l'idée et je fais de la place pour ceux qui souhaiteraient y répondre également Frédéric. On en reparle courant de semaine

[Frédéric NAUD]

Frédéric, avec tes réponses qui n'en sont pas, tu serais pas magicien toi des fois ? 

[Frédéric NAUD]

Remarque moi aussi, je multiplie les messages...

[bob (Patrice)]

Il y a 20 heures, Frédéric NAUD a dit :

Le problème qui m'agace est le suivant : en ayant choisi un premier nombre a, par exemple a =1000, y a-t-il plus de chances, en choisissant un 2ème nombre b au hasard, différent de 1000, qu'il soit inférieur à 1000 ou au contraire plus de chances qu'il soit supérieur à 1000 ? Je pense que c'est kif-kif : on peut facilement construire une bijection de ]-infini;1000[U]1000;+infini[ sur ]-infini;1000[U]1000;+infini[ : f : x donne x - 1000. On se ramène au cas ou a = 0 en résumé. Personne ne sera choqué si je dis qu'en choisissant un 2ème nombre b au hasard, différent de 0, il y a autant de chances qu'il soit inférieur à 0 que de chances qu'il soit supérieur à 0.

Le problème est de définir une loi de probabilité uniforme pour une variable aléatoire pouvant prendre comme valeur tous les réels différents de a...

La théorie des probabilités sur des "espaces de réalisations" (ou univers) finis est déjà plein de pièges cognitifs. Autant dire que dans les univers infinis dénombrables, voire non dénombrables, c'est encore pire !

Exemple :

Révélation

En bon français, "possible" signifie que l'évènement est probable, donc d'une probabilité non nulle. Eh bien pas en langage mathématique : dans un univers probabilisé infini, un événement peut être "possible" et être associé à une probabilité nulle.

Cela montre que le langage courant est insuffisant dès que l'on veut raisonner avec un minimum d'ambiguïté (il en reste toujours ...). Comme me l'a enseigné un prof de math il y a longtemps (trop longtemps), La Mathématique (il ne disait pas Les Mathématiques) n'est en réalité qu'un langage, langage dans lequel on formule des axiomes à partir desquels on tient des raisonnements que l'on peut se permettre de qualifier de "démonstrations".

Dans l'axiomatique de Kolmogorov, il n'existe pas de loi équiprobable sur l'ensemble des entiers naturels N qui est dénombrable. Mais il en existe sur n'importe quel intervalle réel [a,b] qui lui n'est pas dénombrable … Si ça c'est pas contre-intuitif !

Je suis d'accord avec ton raisonnement. Mais je me garderai bien d'essayer de répondre à la question sur l'existence  d'une loi de probabilité uniforme sur R (ou sur R sauf x) . Je déclare forfait et je retourne à mes foulards !

Bob

P.S. : Kolmogorov est mort. Dommage, on aurait pu lui poser la question.

Bob

Modifié 15 avril 2024 par bob (Patrice)

[Invité]

Le 14/04/2024 à 13:50, Frédéric NAUD a dit :

 

Le problème est de définir une loi de probabilité uniforme pour une variable aléatoire pouvant prendre comme valeur tous les réels différents de a..

Frédéric, pourquoi penser que cette loi de probabilité à densité que tu recherches dans ce jeu est une loi de probabilité uniforme depuis le départ? 

Sans entrer dans de gigantesques considérations:

Voici une fonction de la variable réelle x 

f : x|- > Ex/(Ex + 1)  où Ex désigne de manière farfelue exponentielle de x

Que peux tu me dire sur cette fonction, peut elle définir une fonction de densité de probabilité tout d'abord? Si oui une étude sommaire de la fonction pourrait nous aider. En quoi on verra après.

[Frédéric NAUD]

il y a une heure, Frédéric HÔ a dit :

Que peux tu me dire sur cette fonction, peut elle définir une fonction de densité de probabilité tout d'abord? Si oui une étude sommaire de la fonction pourrait nous aider. En quoi on verra après

Ta fonction f peut définir une fonction de répartition pour une loi à densité. Ta fonction correspond à la courbe verte ci-dessus et la densité à la courbe rouge. L'intégrale de -infini à + infini est bien égale à 1. 

Je pense à une loi uniforme car pour le problème que je me suis posé (pas encore celui de ton jeu) si on considère la probabilité qu'un réel x  différent de 0 choisi au hasard soit supérieur à 0,  le nombre choisi doit, avoir autant de chances d'être par exemple dans l'intervalle [1;2] que dans l'intervalle [2;3] ou n'importe quel autre intervalle fermé de longueur 1, dans la mesure où il ne contient pas 0.  On doit avoir P(1<x<2) = P(2<x<3).

[Invité]

Propre. Ça peut nous aider donc.

Cette fonction f induit une bijection de IR sur ]0;1[ n'est ce pas. L'intérêt ici est donc de jouer non plus sur IR mais sur ]0;1[ de même cardinal mais qui lui est un borné. 

La stratégie alors est de choisir un nombre réel r au hasard et de regarder sa probabilité f(r) ( je passe toute la partie de construction rigoureuse et de langage IP(X=r) par gros abus de langage et flemme matinale ),

d'être tiré puis de le comparer à f(A) où A serait le nombre inscrit sur le papier choisi de mon jeu. Et voir si on peut en déduire des choses.

[Christian GIRARD]

il y a 24 minutes, Frédéric HÔ a dit :

de même cardinal mais qui lui est un borné. 

Richelieu aurait été d’un esprit plus ouvert ?

[Invité]

Il y a 22 heures, Frédéric HÔ a dit :

Propre. Ça peut nous aider donc.

Cette fonction f induit une bijection de IR sur ]0;1[ n'est ce pas. L'intérêt ici est donc de jouer non plus sur IR mais sur ]0;1[ de même cardinal mais qui lui est un borné. 

La stratégie alors est de choisir un nombre réel r au hasard et de regarder sa probabilité f(r) ( je passe toute la partie de construction rigoureuse et de langage IP(X=r) par gros abus de langage et flemme matinale ),

d'être tiré puis de le comparer à f(A) où A serait le nombre inscrit sur le papier choisi de mon jeu. Et voir si on peut en déduire des choses.

Si on ne peut rien en déduire, on regarde différemment.

Choisissons d'abord A avec sa probabilité f(A) et on le compare à un nombre réel s pris au hasard dans l'intervalle ]0;1[ . Puis on fixe les choses:

Si s < f(A) alors A est le plus grand nombre

Si s > f(A) alors A est le plus petit nombre

Avec cette stratégie, la probabilité de trouver le plus grand nombre est:

1/2f(G) +1/2(1 - f(P))

Où G désigne le nombre le plus grand et P le plus petit

Est ce que c'est vrai? Reste à le démontrer @Frédéric NAUD

Si oui c'est terminé car alors la probabilité  vaut:

1/2 + 1/2 (f(G) - f(P))

Et comme G > P avec la stricte monotonie de f cela donne f(G) > f(P)

Soit une probabilité strictement plus grande que 1/2.