Le Paradoxe de Simpson (ou effet de Yule-Simpson)

[Guillaume SIMON]

Ahahah, j'adore quand je me plante comme ça, comme quoi les probabilités sont vraiment trompeuses !

Après avoir posé les calculs calmement, j'ai plutôt l'impression qu'on est environ à 1% de chance d'être vraiment malade (si on considère que la fiabilité est la même pour un faux positif que pour un vrai négatif).

Soit A, l’événement : "je suis malade"

Soit B, l'événement : "le test est positif"

On sait que le test est positif, donc la probabilité que l'on cherche à obtenir est P(A|B), c'est à dire P(A sachant B), la probabilité d'être malade sachant que le test est positif.

P(A|B) = P(A inter B) / P(B)

Or

P(A inter B) = 1/10000 x 99/100 (on est malade ET le test est positif (donc fiable))

P(B) = 1/10000 x 99/100 + 9999/10000 x 1/100 ((on est malade ET le test est fiable) OU (on n'est pas malade ET le test n'est pas fiable))

Donc P(A|B) = 99 / (99+9999), soit un peu moins de 1%.

C'est soit ça, soit je devrais sérieusement me replonger dans mes cours de terminale...

Et en tout cas, c'est tout sauf intuitif

Modifié 22 octobre 2015 par Nomis

[Dorian CAUDAL]

Nomis, je pense que c'est ça. J'avais oublié la formules des probas conditionnelles Souvenirs de terminale S... !

[Guillaume SIMON]

Oui, je suis maintenant convaincu que c'est ça.

La probabilité de ne pas être malade (9999/10000) écrabouille la probabilité que le test soit fiable ("seulement" 99/100) dans le fait que le test soit positif.

Mais c'est loiiiiin d'être intuitif, si on ne se pose un peu pour y réfléchir et encore moins si on touche rarement/jamais aux probabilités.

[Aurélien B. (TanMai)]

Bah non. C'est bien 99%.

Edit : Notez que j'ai répondu intuitivement et qu'il n'est jamais bon d'être intuitif en probabilités

Bien évidemment, dans le contexte de ce sujet vous avez flairer l'embrouille.

Une démo sans formule avec des mots plus simples pour ceux que ça intéresse:

"Ils ont "analysé" 10.000 personnes pour une maladie touchant 1 personne sur 10.000; donc si le test était sur à 100%, une seule personne serait positive (la personne malade).

Mais comme le test se trompe 1 fois sur 100, sur les 9999 personnes restantes, 100 seraient trouvé positive par erreur.

Donc en tout 101 lettres de ce type seront envoyés et parmi-elles UNE SEULE personne serait vraiment malade."

=> proba = 1/101 = 1%

A noter que l'énoncé n'est pas complet: deux types d'erreurs sont possibles: la fausse alerte, et la non détection. Dans cette démo, on ne considère que la fausse alerte, la non détection etant négligée (1/1.000.000). Ca ne change pas grand chose au résultat.