Possibilités de votre Jeu de 52 Cartes

[Frédéric NAUD]

Il y a 5 heures, Frantz (CC Magique !) a dit :

Considérons un univers Omega muni d'une loi de probabilité P. Soit A un événement réalisé de Omega. Alors P(A) = 1.

Il y a 5 heures, Frantz (CC Magique !) a dit :

Pardon de le redire, mais l'ensemble des mathématiciens du monde entier te diront eux aussi qu'en probabilité, un événement réalisé a une probabilité de 1. P(événement réalisé)=1. C'est la base de la base.

Désolé mais c'est de la bouillie tout ça ! Lorsqu'on étudie un expérience aléatoire dans l'absolu, sans la faire concrètement, on ne dit pas qu'un évènement est réalisé sans préciser ou sous-entendre que c'est pour certaines issues de l'expérience. L'évènement peut être réalisé pour toutes les issues possibles, il est alors certain, de probabilité 1, ou alors seulement pour certaines issues possibles et c'est en considérant ces dernières que l'on déterminera la probabilité de l'évènement.

On peut aussi, et c'est différent, dire qu'un évènement s'est réalisé concrètement lorsque l'expérience s'est produite, il ne se serait pas réalisé pour toutes les issues possibles de l'expérience ! Lorsque l'expérience s'est produite concrètement, une issue possible s'est concrétisée et il s'agit d'une issue favorable à l'évènement, qui s'est donc réalisé. Cela ne change strictement rien à sa probabilité qui n'a aucune raison d'être égale à 1.

Avant d'engager l'ensemble des mathématiciens du monde entier (dont je ne fait même pas partie, je suis juste un prof de maths, pas vraiment un mathématicien - on dirait Gilbus  ), il faut revoir sa leçon...

 

Modifié 11 avril par Frédéric NAUD

[Christian GIRARD]

Il y a 1 heure, Jean-Luc THIEFIN a dit :

si on reprend son affirmation que rien n'est jamais établi définitivement ( il pense aux  sciences particulièrement j'imagine) on ne peut qu'acquiscer,

Il ne s’agissait que d’une anagramme de Jacques Perry-Salkow, pas d’une citation d’Einstein.

[Christian GIRARD]

Il y a 14 heures, Jean-Luc THIEFIN a dit :

On est où ici??? Il est à noter comment sur un forum de magie où on est parti des 52! possibilités d'un jeu de 52 cartes mélangées on soit entrainé sur des notions plus fondamentales et ...philosophiques même!!

C'est un peu magique aussi je trouve!

Et cela fait des années qu’on développe ces sujets dans Les Chemins de traverse, moins visités hélas que le forum général mais où ces questions sont débattues parfois avec âpreté. 

Modifié 12 avril par Christian GIRARD

[Frantz (CC Magique !)]

Il y a 15 heures, Christian GIRARD a dit :

La question de savoir « comment est né l'Univers  ? » n'est pas valide si l'Univers n'a pas de naissance . Tout au plus peut-on tenter de mieux comprendre l'évolution des parties de l'Univers qui nous sont accessibles, dans le cadre du modèle standard de la cosmologie. Le reste est très spéculatif

Yep !  Entièrement d'accord !  

 

Il y a 12 heures, Frédéric NAUD a dit :

Désolé mais c'est de la bouillie tout ça ! Lorsqu'on étudie un expérience aléatoire dans l'absolu, sans la faire concrètement, on ne dit pas qu'un évènement est réalisé sans préciser ou sous-entendre que c'est pour certaines issues de l'expérience. L'évènement peut être réalisé pour toutes les issues possibles, il est alors certain, de probabilité 1, ou alors seulement pour certaines issues possibles et c'est en considérant ces dernières que l'on déterminera la probabilité de l'évènement.

On peut aussi, et c'est différent, dire qu'un évènement s'est réalisé concrètement lorsque l'expérience s'est produite, il ne se serait pas réalisé pour toutes les issues possibles de l'expérience ! Lorsque l'expérience s'est produite concrètement, une issue possible s'est concrétisée et il s'agit d'une issue favorable à l'évènement, qui s'est donc réalisé. Cela ne change strictement rien à sa probabilité qui n'a aucune raison d'être égale à 1.

Ah... Désolé, mais là c'est moi qui trouve que ce que tu écris est, comment dire, peu clair... (Je ne parlerais pas de "bouillie" pour autant... Bref...)

Peux-tu expliquer mon erreur/imprécision/manque de rigueur dans l'exemple suivant :

Notons Oméga l'univers constitué de l'ensemble des tirages du Loto national français, depuis sa création (19 mai 1976)  jusqu'à sa disparition (on ne sait pas quand) muni d'une loi de probabilité P. Soient A et B les événements de Omega suivants :

A = "Le tirage du 10 avril 2024 est 1, 9, 18, 33, 39 et 2"

B = "Le tirage du 8 mars 2039 est 1, 3, 7, 11, 13 et 17"

Je dis que P(A) = 1 (car c'est un événement certain de mon univers Omega) et P(B) = 1/19 000 000

Merci d'utiliser ton meilleur sens pédagogique pour m'expliquer en quoi cette "bouillie" est fausse/imprécise...

[Frantz (CC Magique !)]

Il y a 11 heures, Frédéric NAUD a dit :

Lorsqu'on étudie un expérience aléatoire dans l'absolu, sans la faire concrètement, on ne dit pas qu'un évènement est réalisé sans préciser ou sous-entendre que c'est pour certaines issues de l'expérience.

Je vois d'où viennent nos incompréhension : de la différence entre le sens "commun" et le sens "mathématique" de certains termes...

Précédemment, j'ai utilisé le terme "phénomène" pour ne pas écrire "événement", car je voulais garder ce dernier dans son sens mathématique (un "événement" d'un univers mathématique), et on me l'a reproché. Alors du coup, j'utilise des termes mathématiques formels (un "événement réalisé" d'un "univers", muni d'une "loi de probabilité"), et on me dit que j'écris de la bouillie... Je ne sais plus quoi faire...  ("Me taire ?", entends-je du fond de la salle ?... Oui, vous avez sûrement raison...)

Je crois avoir compris que tu comprenais mon expression "l'événement est réalisé" dans le sens "commun" : par exemple, si je considère l'univers {1,2,3,4,5,6} des résultats possibles du lancer d'un dé, tu penses que dire "l'événement est réalisé" veut dire "on a lancé le dé"... Là ça n'aurait aucun sens, on est bien d'accord... "On a lancé un dé" n'est pas du tout un événement de l'univers en question, ça ne veut rien dire...

Mais, au sens mathématique, dire "l'événement est réalisé", ça veut dire, par définition, que c'est un événement certain, que sa probabilité est égale à  1 !

Par exemple, soit A l'événement de l'univers précédent "Le lancer de dé est pair". Avant le lancer le dé, j'ai P(A)=1/2. Mais, après mon lancer de dé, si j'ai devant moi un dé avec la face 2 en l'air, alors P(A)=1. L'événement est dit "réalisé", c'est un "événement certain"...

Mais bon... Je doute que cela intéresse grand monde ici tout cela... Pas grave, la vie est belle quand même...  (Mais merci de m'expliquer quand même en quoi ce que j'ai écrit précédemment est de la "bouillie", j'aime apprendre et comprendre...)

[bob (Patrice)]

Je vais à nouveau me renier (je n'en suis pas fier et m'en excuse) , et remettre mon grain de sel, mais il me semble avoir trouvé la clé de nos incompréhension ...

Je me demande si tout ne vient pas d'un problème de vocabulaire.

Frantz, tu as expliqué que "Quand un phénomène s'est produit, sa probabilité est égale à 1" en me rappelant que la théorie énonce fort justement que "La probabilité d'un événement certain est égal à 1". Ce qui te fait affirmer que "Le tirage du 10 avril 2024 est 1, 9, 18, 33, 39 et 2" a une probabilité de 1. En gros, ton raisonnement est : quelque chose s'est produit, donc est vrai, donc certain, donc sa probabilité est de 1.

En disant cela, je pense que tu te laisses piéger par le double sens commun du mot "certain" qui signifie à la fois "qui est effectif" (vrai) et "Qui ne peut manquer de se produire" (qui a donc une probabilité de se produire de 1). Cette définition vient du Petit Robert.

En proba, c'est le second sens qui est à prendre en compte : un "événement certain" est un événement qui ne peut manquer de se produire, donc qui a effectivement une probabilité de 1. En proba, on ne parle jamais d'évènement vrai : on dit d'un évènement qu'il est certain quand il a une probabilité de 1, impossible quand il a une probabilité de 0.

Il n'était pas du tout certain que le tirage du 10 avril 2024 ait été 1, 9, 18, 33, 39 et 2. Et pourtant c'est vrai. Et le fait que cela soit vrai (et non certain, c'est l'erreur que je pense tu commets) ne change rien à la probabilité que cela avait d'arriver qui est de 1 sur 19 millions et des poussières.

Pour résumé, je pense que par un habile tour de passe-passe (mais tu es magicien, non ), tu transformes "certain" en "vrai" dans la phrase "La probabilité d'un événement certain est égal à 1" ... qui elle est vraie !

Bob

[Frantz (CC Magique !)]

il y a 43 minutes, bob (Patrice) a dit :

Je me demande si tout ne vient pas d'un problème de vocabulaire.

Oui, c'est ce que je réalise aussi...  En plus du fait que les probabilités sont intrinsèquement délicates, elles font appel à un vocabulaire qui, bien que très précis et très formel, utilise les mêmes mots que dans la vie de tous les jours (univers, événement, certain, probable, etc.) Or ce n'est pas forcément le même sens, ce dont ceux qui ont fait moins de maths n'ont pas forcément conscience...  

il y a 47 minutes, bob (Patrice) a dit :

1. En gros, ton raisonnement est : quelque chose s'est produit, donc est vrai, donc certain, donc sa probabilité est de 1.

Pas "en gros" !  C'est exactement ce que je dis...  

il y a 48 minutes, bob (Patrice) a dit :

En disant cela, je pense que tu te laisses piéger par le double sens commun du mot "certain" qui signifie à la fois "qui est effectif" (vrai) et "Qui ne peut manquer de se produire" (qui a donc une probabilité de se produire de 1). Cette définition vient du Petit Robert.

En proba, c'est le second sens qui est à prendre en compte : un "événement certain" est un événement qui ne peut manquer de se produire, donc qui a effectivement une probabilité de 1

Je ne me laisse pas piéger : pour ma part, dans une discussion mathématique, quand un terme a un sens mathématique, je l'utilise dans ce sens...  (Et c'est pour cela que j'ai parlé dans un message précédent de "phénomène" et pas "d'événement" ; dans le premier cas c'était le sens "commun", dans le second le sens mathématique (résultat d'une expérience aléatoire dans un univers Omega muni d'une loi de probabilité P)).

Par définition, A est un événement certain si, et seulement si, P(A)=1.

il y a 55 minutes, bob (Patrice) a dit :

on dit d'un évènement qu'il est certain quand il a une probabilité de 1, impossible quand il a une probabilité de 0.

Oui, entièrement d'accord !  

il y a 55 minutes, bob (Patrice) a dit :

Il n'était pas du tout certain que le tirage du 10 avril 2024 ait été 1, 9, 18, 33, 39 et 2. Et pourtant c'est vrai. Et le fait que cela soit vrai (et non certain, c'est l'erreur que je pense tu commets) ne change rien à la probabilité que cela avait d'arriver qui est de 1 sur 19 millions et des poussières.

Justement, tu mets ici le doigts sur l'erreur que toi tu commets (pardon) et pas moi...  Le résultat d'une expérience aléatoire passée, dont je connais le résultat donc, entraîne que l'événement associé est certain, et donc que ça probabilité est 1... (Ou 0 si l'événement associé n'est pas réalisé, c'est-à-dire si le résultat n'est pas cet événement.)

Formellement, comme je l'ai écrit dans un message précédent : si je considère que l'univers est l'ensemble des tirage du Loto (associés à leur date de réalisation), alors l'événement A="le tirage du 10 avril 2024 est 1, 9, 18, 33, 39 et 2" (c'est bien un événement de mon univers) a bien une probabilité de 1, puisque c'est effectivement le cas ! Aujourd'hui, je sais que P(A)=1, mais, effectivement, le 9 avril, j'avais P(A) 1/19 000 000...

La probabilité d'un même événement peut changer au cours du temps, c'est peut-être cela qui vous pose problème, je ne sais pas...

De façon formelle, si je considère une expérience aléatoire, si j'appelle Oméga l'univers de l'ensemble des résultats possibles de cette expérience, muni d'une loi de probabilité P, si j'appelle A un événement de cet univers, et si j'appelle p la probabilité de A, alors :

1. Avant l'expérience, on P(A) = p

2. Après l'expérience, P(A) = 1 (et on dit alors que l'événement est réalisé, c'est un événement certain) ou P(A) = 0 ( (et on dit alors que l'événement n'est pas réalisé, c'est un événement impossible).

(Je reste dans le cadre des probabilités discrètes des expériences aléatoires à notre échelle... En mécanique quantique, ce n'est plus vraiment pareil, comme le disait un chat bien connu...  )

Par exemple, considérons l'expérience aléatoire suivante : "Je pioche au hasard une carte dans un jeu de 52." L'univers Omega est l'ensemble des cartes : {AP, 2P, ...} Soit A l'événement "Je pioche le deux de trèfle." Alors, avant de procéder à l'expérience, on a P(A) = 1/52. Et après avoir procédé à l'expérience : si j'ai le deux de trèfle, alors P(A) = 1 (et on dit que A est réalisé), et si j'ai une autre carte, P(A) = 0.

Autre exemple, considérons l'expérience aléatoire consistant à relever les résultats à une roulette de casino, l'univers Oméga est l'ensemble des tirages possibles, et considérons l'événement A suivant : "Le résultat est R, R, R, R, R, R, R, R, R, R".

Avant de lancer la roulette, on a P(A)=1/1024. Mais si je rentre dans le casino et que je vois qu'il y a déjà neuf noirs de tombées à la suite, alors P(A)=1/2, et si après ce dernier tour de roue on tombe encore sur une case noire, alors P(A)=1 (l'événement est devenu certain).

La probabilité d'un événement associé à une expérience aléatoire change au cours du temps, change au fur et à mesure que l'expérience progresse... Et, une fois expérience terminée, la probabilité de cet événement est soit 1 soit 0. C'est tout ce que je dis depuis le début...  

 

 

[bob (Patrice)]

Il y a 2 heures, Frantz (CC Magique !) a dit :

pour ma part, dans une discussion mathématique, quand un terme a un sens mathématique, je l'utilise dans ce sens...

OK. Alors allons-y. Ce qui suit se trouve dans n'importe quel cours de proba.

Pour pouvoir étudier sérieusement une expérience aléatoire, on définit préalablement un espace probabilisé qui servira de cadre mathématique à cette expérience :

Un espace probabilisé est un objet mathématique défini par un triplet formé : d'un espace des réalisations, d'un ensemble d'événements et d'une fonction F de l'ensemble des événements vers l'intervalle réel [0,1].

Un événement certain dans cet espace probabilisé signifie que la fonction F vaut 1 pour cet événement (c'est une simple définition, pas un théorème).

Il y a 2 heures, Frantz (CC Magique !) a dit :

La probabilité d'un événement associé à une expérience aléatoire change au cours du temps, change au fur et à mesure que l'expérience progresse... Et, une fois expérience terminée, la probabilité de cet événement est soit 1 soit 0. C'est tout ce que je dis depuis le début...

Ben non. Une fois l'expérience démarrée, la fonction F définie dans l'espace probabilisé associé indique précisément la probabilité de chaque événement. Si un événement avait une probabilité donnée, elle ne changera pas.

Libre à toi de vouloir changer cette probabilité. Mais pour cela il faut que tu changes la fonction F. Tu peux construire un autre espace probabilisé où tu reprendras un espace des réalisations analogue, un ensemble d'événements analogue et où tu changeras la fonction F. Mais dans ce cas, tu changes l'un des éléments du triplet et on ne sera plus dans le même espace probabilisé. Le cadre aura changé et tu auras changé d'expérience.

Il y a 2 heures, Frantz (CC Magique !) a dit :

La probabilité d'un même événement peut changer au cours du temps, c'est peut-être cela qui vous pose problème, je ne sais pas...

Ben oui. Ça me pose problème. Et si tu as bien lu ce qui précède, j'espère que tu as compris pourquoi.

Bob

[Frantz (CC Magique !)]

Il y a 2 heures, bob (Patrice) a dit :

Un événement certain dans cet espace probabilisé signifie que la fonction F vaut 1 pour cet événement (c'est une simple définition, pas un théorème).

Oui, oui, oui, parfaitement d'accord...

Il y a 2 heures, bob (Patrice) a dit :

Si un événement avait une probabilité donnée, elle ne changera pas.

C'est là où tu te trompes... Je pense que tu la définition de ce qu'est un "événement" en probabilité est floue pour toi... Un événement est un sous-ensemble de l'univers associé à une expérience aléatoire. Encore une fois, l'événement "le tirage du Loto du 10 avril 2024 est 1, 9, 18, 33, 39 et 2" n'a pas la même probabilité suivant que cette phrase est prononcée le 9 avril ou le 11 avril... C'est une probabilité conditionnelle "évidente" : P(A/A) ("P de A sachant A"), qui est égale à 1 bien sûr...

Je veux bien que l'on alterne entre cadre général formel et exemples du quotidien, mais il faut rester très rigoureux... La "fonction F de l'ensemble des événements vers l'intervalle réel [0,1]" dont tu me parles, qui est juste la définition du terme probabilité (et c'est comme cela qu'on l'appelle depuis le début de notre conversation), n'est :

1. Pas forcément définie explicitement ;

2. Pas forcément la même suivant l'état d'avancée de l'expérience aléatoire.

Relis mes exemple (Loto, roulette, tirage de cartes, tirage de dés), les univers que je considère, les événements que je considère et leurs probabilités associées... Franchement, et encore une fois sans condescendance, ni ironie, tous mes messages sont des exemples classiques d'un cours de maths de niveau seconde... Vraiment, il n'y a aucun mépris dans cette remarque et il n'y a pas de mal à ne pas les comprendre... C'est juste que je ne vois pas comment être plus clair, être plus pédagogique...

Mais tout cela n'est pas grave, la vie est belle...  Et j'ai hâte qu'on le boive ce verre Bob, on ne parlera pas de probas, promis !  

[Frédéric NAUD]

Frantz, en fait les notions qui te manquent pour décrire ce que tu veux dire, sont celles de produits cartésien pour ton Omega et de proba conditionnelle. On ne peut pas faire rentrer la notion de temps tel que tu le fais dans un espace probabilisé.

Considère l'expérience élémentaire du jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée.

Pour décrire l'expérience qui consiste en un seul lancer, ton Omega peut simplement être : {P,F}. P pour pile et F pour face. Ta loi de probabilité sera tout simplement p(P)=p(F)=1/2.

Si tu veux étudier ce qui se passe en la répétant plusieurs fois, ton espace Omega doit être adapté. Faisons simple : on lance la pièce deux fois de suite. Omega est l'ensemble des couples (x;y) avec x et y valant P (pile) ou F (face). Il s'agit du produit cartésien {P,F}×{P;F} c'est à dire Omega = {(P;P),(P;F),(F;P),(F;F)}. La probabilité de l'événement A " obtenir Pile au 1er lancer" est égale 1/2 est rien d'autre puisque les issues favorables sont (P,P) et (P,F), soit deux issues favorables sur un total de 4 issues. Pour obtenir ce qui t'intéresse et ta probabilité égale à 1, il faut définir une probabilité conditionnelle qui n'est pas définie de la même façon que la probabilité de base.

En fait on peut assimiler les événements aux parties de Omega. Ici A={(P,P);(P,F)}.

On peut définir la probabilité conditionnelle par :

pA  de Omega dans [0;1] qui à un évènement B associe pA(B) = p(B inter A)/p(A). J'ai noté B inter A l'intersection de A et B, l'événement "A et B sont réalisés tous les deux".

En clair, la probabilité d'un événement B sachant que A est réalisé est la probabilité que les deux soient réalisés divisée par celle que A se réalise.

Ce qui est égal 1, c'est la probabilité d'obtenir pile au 1er lancer sachant qu'on a obtenu pile au 1er lancer ! :

pA(A) = p(A inter A)/p(A) =p(A)/p(A)=1.

Bob avait touché le nœud du problème en disant que si tu considérait qu'un événement s'était produit, il fallait modifier ta fonction probabilité, et déjà l'ensemble de définition (et donc les événements auxquels elle s'applique).

 

Il y a 4 heures, Frédéric NAUD a dit :

Ce qui est égal 1, c'est la probabilité d'obtenir pile au 1er lancer sachant qu'on a obtenu pile au 1er lancer ! :

pA(A) = p(A inter A)/p(A) =p(A)/p(A)=1.

J'aurais même dû écrire : "Ce qui est égal 1, c'est la probabilité d'obtenir pile au 1er lancer sachant qu'on obtient pile au 1er lancer ! "

L'emploi du passé amène la confusion. Il peut faire croire que la fonction probabilité évolue au cours du temps, alors que c'est juste qu'une autre fonction devient plus pertinente si on sait déjà quelque chose sur le résultat de l'expérience.

Modifié 12 avril par Frédéric NAUD