Possibilités de votre Jeu de 52 Cartes

[Mickaël MCD]

Le 16/04/2024 à 09:36, Christian GIRARD a dit :

Le 16/04/2024 à 09:10, Frédéric HÔ a dit :

de même cardinal mais qui lui est un borné. 

Richelieu aurait été d’un esprit plus ouvert ?

Ça dépend, faudrait peut-être demander à Claudia...

Révélation

 

[Jean-Luc THIEFIN]

Sans trop m'éloigner du sujet je vous signale que le mathématicien Wigderson vient de recevoir le prestigieux prix Turing suite à son travail sur les algorithmes informatiques.

En effet ceux-ci fonctionnent comme chacun sait selon des règles prédéfinies qui permettent donc de faire des prédictions. Mais celles-ci sont souvent biaisées dans le monde réel où le hasard et l'aléatoire viennent pointer leur nez chroniquement.

Il a fait une superbe découverte:il a introduit de l'aléatoire dans des algorithmes et constaté que cela simplifiait ( paradoxalement) la résolution de problèmes complexes ( justement complexes car faisant intervenir l'aléatoire)!!.

Et cerise sur le gâteau il a montré que si inversement on retirait l'aléatoire d'algorithmes probabilistes on obtenait des algorithmes déterministes!!!

J'ai immédiatement pensé à regarder ce que cela pouvait donner avec des algorithmes utilisés dans certaines procédures de routines de magie; j'y ai introduit du hasard et miracle , cela semble exploitable! 

 

[Invité]

il y a une heure, Jean-Luc THIEFIN a dit :

Sans trop m'éloigner du sujet je vous signale que le mathématicien Wigderson vient de recevoir le prestigieux prix Turing suite à son travail sur les  algorithmes informatiques.

Profitons en pour ne pas bouder l'excellence de par chez nous en célébrant ce Monsieur incroyablement humble et pourtant un cador ( en probabilité en autres) qu'est le mathématicien Michel Talagrand qui a reçu en mars le prix Abel.

[Frédéric NAUD]

Je pense avoir prouvé ce qui suit :

Avec ce processus :

le joueur 1 marque au hasard un nombre x de [0;1] sur un papier puis un nombre y de [0;1] différent de x sur un autre papier, le joueur 2 choisit au hasard un des deux papiers,

le joueur 2 a une chance sur 2 d'avoir le plus grand des deux nombres x et y s'il garde le nombre du papier qu'il a choisi (stratégie 1),

il a 3 chances sur 4 d'avoir le plus grand des deux nombres x et y s'il opte pour la stratégie 2 : garder le nombre du papier qu'il a choisi si celui-ci est supérieur ou égal à 1/2, prendre le nombre du papier qu'il n'a pas choisi sinon.

Preuve (j'espère) ici :

jeu Frédéric Hô.pdf

[Invité]

Le 20/04/2024 à 19:01, Frédéric NAUD a dit :

Je pense avoir prouvé ce qui suit :

Avec ce processus :

le joueur 1 marque au hasard un nombre x de [0;1] sur un papier puis un nombre y de [0;1] différent de x sur un autre papier, le joueur 2 choisit au hasard un des deux papiers,

le joueur 2 a une chance sur 2 d'avoir le plus grand des deux nombres x et y s'il garde le nombre du papier qu'il a choisi (stratégie 1),

il a 3 chances sur 4 d'avoir le plus grand des deux nombres x et y s'il opte pour la stratégie 2 : garder le nombre du papier qu'il a choisi si celui-ci est supérieur ou égal à 1/2, prendre le nombre du papier qu'il n'a pas choisi sinon.

Preuve (j'espère) ici :

jeu Frédéric Hô.pdf 303.55 Ko · 4 

Joli. Un petit jeu somme toute très contre intuitif au premier abord n'est ce pas @Frédéric NAUD

Il est possible de s'amuser à le généraliser avec non plus 2 papiers mais n papiers. 

[Frédéric NAUD]

Le 17/04/2024 à 08:11, Frédéric HÔ a dit :

Si on ne peut rien en déduire, on regarde différemment.

Choisissons d'abord A avec sa probabilité f(A) et on le compare à un nombre réel s pris au hasard dans l'intervalle ]0;1[ . Puis on fixe les choses:

Si s < f(A) alors A est le plus grand nombre

Si s > f(A) alors A est le plus petit nombre

Avec cette stratégie, la probabilité de trouver le plus grand nombre est:

1/2f(G) +1/2(1 - f(P))

Où G désigne le nombre le plus grand et P le plus petit

Est ce que c'est vrai? Reste à le démontrer @Frédéric NAUD

Si oui c'est terminé car alors la probabilité  vaut:

1/2 + 1/2 (f(G) - f(P))

Et comme G > P avec la stricte monotonie de f cela donne f(G) > f(P)

Soit une probabilité strictement plus grande que 1/2

Tout ça est ok sauf que dans l'histoire, la fonction f n'est pas une probabilité, non ? C'est juste une bijection de IR sur ]0;1[ (et je pense que n'importe laquelle convient dans la mesure où elle est strictement croissante). La variable s quand elle suit la loi uniforme sur [0;1].

Voici la preuve que tu me demandais :

Jeu Frédéric Hô bis.pdf

Cette stratégie est sympa. Par contre la proba dépend des nombres inscrits... Pour se rendre compte de l'efficacité de la stratégie, il faudrait travailler sur f(G) - f(P) et donc sur le choix de la fonction f.

Il y a 7 heures, Frédéric HÔ a dit :

Il est possible de s'amuser à le généraliser avec non plus 2 papiers mais n papiers. 

Effectivement, la proba de gagner en adoptant la stratégie :

"si le nombre inscrit sur le papier choisi est supérieur ou égal à 1/2, on parie que c'est lui le plus grand, sinon on parie sur un autre au hasard"

doit donner une probabilité de gagner supérieure à 1/2.

Autre chose sur ton jeu d'origine : voici une version un peu plus générale de ce que j'ai (je pense) démontré :

Le joueur 1 inscrit au hasard sur un papier un nombre réel x de l'intervalle ]-A;A[ (où A est un réel strictement positif), puis sur un autre papier un nombre réel y différent de x, lui aussi dans ]-A;A[.  Le joueur 2 choisit un papier. La stratégie :

"si le nombre inscrit sur le papier choisi est supérieur ou égal à 0, on parie que c'est lui le plus grand, sinon on parie sur l'autre"

donne encore (avec un calcul un peu plus compliqué mais similaire à celui que j'ai posté précédemment) une probabilité de gagner de 3/4, quelque soit la valeur de A.

Faire tendre A vers l'infini est possible mais ne nous affranchit pas de choisir x et y dans ]-A;A[ dès le début, et de conditionner les probabilités calculées au choix de A.

 

 

[Invité]

Le 22/04/2024 à 17:05, Frédéric NAUD a dit :

Tout ça est ok sauf que dans l'histoire, la fonction f n'est pas une probabilité, non ? C'est juste une bijection de IR sur ]0;1[ (et je pense que n'importe laquelle convient dans la mesure où elle est strictement croissante). La variable s quand elle suit la loi uniforme sur [0;1]

 

J'ai utilisé ici la loi logistique qui est une méthode de transformée inverse.

[Pierre GUSS]

OMG le message !!!

Je suis tellement maladroit quand je mélange des cartes, que certaines d'entre finissent faces en haut dans le jeu et d'autres tombent au sol.

Grâce à cette information fondamentale qui manquait cruellement dans cet échange (soit dit en passant assez simplificateur), merci de préciser le nombre de gouttes de l'océan Pacifique, prouver que l'univers a été créé à partir de rien et calculer la probabilité qu'au moins une personne ne perçoive pas mon admiration devant ces échanges

Modifié 24 avril par Pierre GUSS

[Pierre GUSS]

En guise d'introduction, avant d'évoquer ce nombre gigantesque, vous pouvez commencer avec 7 objets (pour ma part, je demande d'imaginer 7 livres à classer dans une bibliothèque)

A raison d'un arrangement par seconde, il faut une heure et demie (1h24 en vrai) pour réaliser tous les classements de ces livres. Pour le commun des mortels, on n'imagine pas avoir besoin d'autant de temps !

Je trouve que 7 est le nombre le plus "bas" qui provoque ce sentiment de décalage entre l'attendu et le réel : on peut réellement imaginer l'expérience (impossible avec 52 cartes) et être suffisamment surpris du résultat.

Quelques valeurs clefs arrondies

• De 1! à 4! => moins d'une minute
• 5! => 2 minutes
• 6! => 12 minutes
• 7! => 1h24
• 9! => 4j et 5h
• 10! => 1mois et 10jours
• 11! => 1an et 3 mois
• 13! => Deux longues vies humaines (197 ans)
• 19! => Age de la terre (à 700 millions d'années près)
• 20! => 6 fois du big-bang à nos jours

Après, je sèche...

Qui calcule et illustre les combinaisons avec un jeu de tarot ?

[Yves BLANCHARD]

Excellent, ce message.

Je viens de faire un mélange aléatoire et j’ai pris une photo pour l’envoyer à ma filleule pour la naissance de son fils Raphaël.

Je lui ai présenté comme une création unique qu’elle ne reverra pas de son vivant et donc un cadeau en lui expliquant l’histoire du 52 ! ; J’ai nommé cette création Raphaël 1505 (jour et mois de sa naissance).

J’ai lockè ce mélange dans un palais de mémoire.

Je lui certifié qu’à chaque fois que je verrai son fils, je lui réciterai ce mélange unique dans l’histoire de l’humanité.

Cela a fait son effet et elle a mis en photo ce mélange dans son album.

Bon, bien qu’il me soit facile de mémoriser un jeu à la volée – j’ai un peu forcé le destin en utilisant le Mnemonica modifié (avec jour et mois de naissance). Je ne vais pas gâcher un chemin de mémoire pour chaque événement.