Frédéric NAUD

Ta fonction f peut définir une fonction de répartition pour une loi à densité. Ta fonction correspond à la courbe verte ci-dessus et la densité à la courbe rouge. L'intégrale de -infini à + infini est bien égale à 1. Je pense à une loi uniforme car pour le problème que je me suis posé (pas encore celui de ton jeu) si on considère la probabilité qu'un réel x différent de 0 choisi au hasard soit supérieur à 0, le nombre choisi doit, avoir autant de chances d'être par exemple dans l'intervalle [1;2] que dans l'intervalle [2;3] ou n'importe quel autre intervalle fermé de longueur 1, dans la mesure où il ne contient pas 0. On doit avoir P(1<x<2) = P(2<x<3).

Remarque moi aussi, je multiplie les messages...

Frédéric, avec tes réponses qui n'en sont pas, tu serais pas magicien toi des fois ?

En tout cas même sur un intervalle de type [a;b] pour le choix des réels (là ton pb est modélisable après avoir noté le 1er réel x sur un des papiers : en notant y le 2ème réel choisi, différent de x, P(y>x) = (b-x)/(b-a) et P(y<x) = 1-P(y>x) = (x- a)/(b-a)), la réponse est toujours 1/2 grâce par exemple à la formule de la probabilité totale.

Oui mais pas celle qui pourrait nous occuper ici pas vrai ?

Je veux dire non borné. La réponse est non d'après ce que viens de revoir vite fait. Pour définir la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle, il faut que son intégrale sur l'ensemble des valeurs possibles de la variable soit égale à 1.

J'avoue que je sèche. Une fois le 1er nombre noté sur un papier, y a t'il "autant" de choix possibles pour le 2ème dans ]-infini;a[ que dans ]a;+infini ? En plus peut-on considérer une loi uniforme sur un intervalle infini ? Je cherche dans mes souvenirs de fac, mais c'est loin !

Coucou les amis. Pour le jeu de Frédéric : réponse 1/2 si je ne m'abuse (tu essaies de nous embrouiller avec la valeur des nombres de non ?). Pour celui de Jean-Luc, réponse B. C'est un classique des probas dont je vais taire la référence pour ne pas déflorer le problème.

Merci les amis

Évidemment non. C'était une allusion à ce cher Louis de Funès. Bonne journée à toi aussi.

Ce qui je pense vous mettra d'accord : La notation P(A\A) est trompeuse. La fonction P n'est pas la même que dans P(A). Il est plus clair de noter PA(A) et de façon générale PA(B) la probabilité de B sachant A. "La probabilité de B sachant A" ne veut pas dire qu'on applique la même loi de probabilité que pour P(A) mais pour un "évènement" qui serait "B sachant A". C'est délicat parce qu'intuitivement, on s'imagine une loi de probabilité "absolue" qui s'appliquerait à n'importe quel évènement possible et imaginable dans l'univers ultime. En maths c'est pas ça. Il faut un modèle précis : l'univers doit être défini, la loi de proba aussi.

Frantz, en fait les notions qui te manquent pour décrire ce que tu veux dire, sont celles de produits cartésien pour ton Omega et de proba conditionnelle. On ne peut pas faire rentrer la notion de temps tel que tu le fais dans un espace probabilisé. Considère l'expérience élémentaire du jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée. Pour décrire l'expérience qui consiste en un seul lancer, ton Omega peut simplement être : {P,F}. P pour pile et F pour face. Ta loi de probabilité sera tout simplement p(P)=p(F)=1/2. Si tu veux étudier ce qui se passe en la répétant plusieurs fois, ton espace Omega doit être adapté. Faisons simple : on lance la pièce deux fois de suite. Omega est l'ensemble des couples (x;y) avec x et y valant P (pile) ou F (face). Il s'agit du produit cartésien {P,F}×{P;F} c'est à dire Omega = {(P;P),(P;F),(F;P),(F;F)}. La probabilité de l'événement A " obtenir Pile au 1er lancer" est égale 1/2 est rien d'autre puisque les issues favorables sont (P,P) et (P,F), soit deux issues favorables sur un total de 4 issues. Pour obtenir ce qui t'intéresse et ta probabilité égale à 1, il faut définir une probabilité conditionnelle qui n'est pas définie de la même façon que la probabilité de base. En fait on peut assimiler les événements aux parties de Omega. Ici A={(P,P);(P,F)}. On peut définir la probabilité conditionnelle par : pA de Omega dans [0;1] qui à un évènement B associe pA(B) = p(B inter A)/p(A). J'ai noté B inter A l'intersection de A et B, l'événement "A et B sont réalisés tous les deux". En clair, la probabilité d'un événement B sachant que A est réalisé est la probabilité que les deux soient réalisés divisée par celle que A se réalise. Ce qui est égal 1, c'est la probabilité d'obtenir pile au 1er lancer sachant qu'on a obtenu pile au 1er lancer ! : pA(A) = p(A inter A)/p(A) =p(A)/p(A)=1. Bob avait touché le nœud du problème en disant que si tu considérait qu'un événement s'était produit, il fallait modifier ta fonction probabilité, et déjà l'ensemble de définition (et donc les événements auxquels elle s'applique).

Désolé mais c'est de la bouillie tout ça ! Lorsqu'on étudie un expérience aléatoire dans l'absolu, sans la faire concrètement, on ne dit pas qu'un évènement est réalisé sans préciser ou sous-entendre que c'est pour certaines issues de l'expérience. L'évènement peut être réalisé pour toutes les issues possibles, il est alors certain, de probabilité 1, ou alors seulement pour certaines issues possibles et c'est en considérant ces dernières que l'on déterminera la probabilité de l'évènement. On peut aussi, et c'est différent, dire qu'un évènement s'est réalisé concrètement lorsque l'expérience s'est produite, il ne se serait pas réalisé pour toutes les issues possibles de l'expérience ! Lorsque l'expérience s'est produite concrètement, une issue possible s'est concrétisée et il s'agit d'une issue favorable à l'évènement, qui s'est donc réalisé. Cela ne change strictement rien à sa probabilité qui n'a aucune raison d'être égale à 1. Avant d'engager l'ensemble des mathématiciens du monde entier (dont je ne fait même pas partie, je suis juste un prof de maths, pas vraiment un mathématicien - on dirait Gilbus ), il faut revoir sa leçon...

Il est là le problème : utiliser le mot jamais qui évoque une vérité absolue alors que tu considères seulement qu' "à l'échelle humaine et même de l'univers" (pour reprendre tes mots), il est raisonnable de faire comme si un évènement de probabilité 1/52! ne se produira pas, tout en sachant très bien que ce n'est assuré. Tu sais très bien qu'il s'agit d'une démarche issue d'un choix, pas d'une "vérité". Un choix guidé par le fait que l'importance de la plupart de nos actions sur Terre et dans l'histoire n'est pas assez grande pour les décider en fonction d'une probabilité aussi mince. Un biais cognitif comme vous le dites si bien... Il est bien là le souci : l'enjeu du choix que l'on effectue en fonction d'une probabilité. Ce que l'on met en jeu lors du passage de la théorie au concret. Certaines situations exigent d'en être conscient et je pense que c'est dans cette direction que Bob est intervenu (qu'il m'arrête si je me trompe...). J'avais pris le même genre d'exemple que lui dans un de mes messages antérieurs mais il n'a pas été compris. Supposons (c'est juste une hypothèse, pas une conjecture hein, ne me prenez pas pour un neuneu) que l'apparition de l'humanité ou de la vie dans l'univers telles qu'on les connaît dépende d'un choix guidé par un modèle probabiliste où la seule issue favorable possède une probabilité de 1/52!, l'auteur du choix (pas un être vivant puisqu'on suppose qu'il n'est pas encore apparu ! ) se dirait-il : "Bon c'est même pas la peine d'essayer de voir, la probabilité est tellement faible... " Bob n'a, il me semble, pas fait d'erreur de raisonnement, il a juste évoqué la possibilité que la vie soit apparue dans des conditions qui avaient a priori (je sais ce qu'est une proba conditionnelle...) vraiment très peu de chances d'être réunies (et était donc évidemment le résultat d'un processus en partie aléatoire). Cette évocation ne me paraît pas stupide, elle a souvent été utilisée. Elle suppose qu'un évènement de probabilité extrêmement faible s'est réellement produit. (et ce à une "échelle" qui est précisément celle que tu évoques : l'humanité et l'univers. Mais dans son entièreté pour le coup... Rien de choquant donc !). En l'occurrence peut-être le seul évènement ayant une proba aussi faible qui ne se sera jamais produit, mais quel évènement ! Il faut savoir de quoi on parle, c'est tout. Si on parle des modèles mathématiques communément utilisés, un évènement de probabilité nulle n'est pas forcément impossible, et un évènement de probabilité non nulle a fortiori encore moins ! Si on parle par contre d'un choix réel éclairé par un modèle probabiliste, c'est vrai que dans beaucoup de cas, on décidera de négliger un probabilité extrêmement faible comparée aux enjeux du choix.

Pour répondre à Jean-Luc et Théo puisque je lui ai soumis un dilemme, il faudrait du temps que je n'ai pas ce soir, j'essaierai demain. Simplement pour Théo, la question n'était pas posée avec mauvais esprit, je posais la question de façon générale en m'adressant à lui puisque je répondais à son propos. Évidemment il y avait quand même un fond de malice, parce que je pense qu'au contraire, la science (et par conséquent les probabilités ont beaucoup à voir avec la morale ou du moins la philosophie. Les précisions que demande Jean-Luc sont intéressantes. A priori je pensais à une félicité individuelle, le reste des humains suivant "normalement" les fils de leurs existences, et pour le scénario catastrophe, à mon avis peu importe car un des problèmes est justement là : peut-on prendre un risque, même infime, lorsque l'enjeu est énorme et dépasse un cas personnel ou concerté ? (j'espère quand même que le sort de l'humanité est assez important pour tout le monde, même si on est soi-même assuré du salut... Certes des exemples très actuels peuvent faire penser le contraire - il n'y a qu'à voir ce qu'il se passe avec le changement climatique - mais bon, essayons d'être optimiste s...) ? Petit exemple concernant les rapports entres probas et morale : les choix parfois douloureux que l'on peut faire en médecine. Dans la vie il faut trancher, et on ne joue pas que pour son propre compte. Je sais Jean-Luc que tu aimes le poker, la vie est plus qu'un jeu... Bon après, évidemment tout dépend des circonstances : le jeu, le divertissement, les arts...etc. offrent un espace plus "sécurisé" où l'on un peut se permettre toutes les audaces... Théo s'exprimait sur notre forum et dans un sujet sur les cartes donc je n'ai bien sûr rien à redire sur ses propos !