[Réflexion] Infini

[Dorian CAUDAL]

Petite énigme... Quel est le résultat de cette somme infinie ?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + ... (jusqu'à l'infini) = ?

[Clément GAFFET]

Ca me rappelle mes cours sur les suites et séries de ce matin...

Je dirais l'infini mais je crois que tu veux quelque chose de plus subtil.

[Richard CCH]

Friboudi, vu que tu poses la question, j'espère que tu sauras expliquer seul (sans te référer simplement à un lien internet) pourquoi tu attends que quelqu'un réponde -1/12...

[Dorian CAUDAL]

En effet R!chard, la réponse est bien -1/12, soit -0,083333333... Mais pourquoi ?

Démonstration

Appelons la somme recherchée SI (somme infinie)

Considérons par ailleurs les sommes suivantes, A et B

A = 1+1-1+1-1+1-1... = 1/2 (0 si on s'arrête après un "-1" et 1 si on s'arrête après un "1", donc on prend la moyenne de 0 et 1, qui est 1/2... Il se cache pas mal de choses derrière ce "donc", mais passons).

B = 1-2+3-4+5-6+7 = ?

Afin de calculer B, calculons B+B, soit 2B, on a alors

2B = (1-2+3-4+5-6+7...) + (1-2+3-4+5-6+7...) = 1+0-2+1+3-2-4+3+5-4-6-5+7-6... = 1-1+1-1+1-1+1... = A

On remarque que 2B = A = 1/2, donc B = 1/(2x2) = 1/4

Calculons alors SI-B, on a

SI-B

= (1+2+3+4+5+6...) - (1-2+3-4+5-6...)

= (1-1) + (2-(-2)) + (3-3) + (4-(-4)) + (5-5) + (6-(-6))

= 4 + 8 + 12

= 4 x (1+2+3+...)

= 4 x SI

Donc -B = 4SI - SI = 3 SI

Donc SI = -B/3 = -(1/4)/3 = -1/12

Donc 1+2+3+4+5+6... = -1/12

[Richard CCH]

Il se cache pas mal de choses derrière ce "donc", mais passons

Pourquoi avoir posé cette énigme alors ?...

[Dorian CAUDAL]

Il se cache pas mal de choses derrière ce "donc", mais passons

Pourquoi avoir posé cette énigme alors ?...

Je ne comprends pas ce que tu veux dire R!chard, je ne vois pas le lien.

1+1-1+1-1+1-1+1.. est une une série qui tend vers 1/2 (somme des (-1)^k avec k tendant vers l'infini).

[Richard CCH]

Je dis que tu poses une énigme dont tu n'es a priori pas capable d'expliquer la réponse personnellement (sans recracher ce que tu as lu ailleurs). Je me pose donc la question "Pourquoi, quel intérêt?"

On dirait que tu veux surprendre d'autres personnes "avec un secret que peu pourront comprendre" et qui t'a surpris toi-même. (C'est d'ailleurs assez intéressant car c'est ce que j'appelle le syndrome du magicien ACAAN, celui qui adore montrer un ACAAN à des profanes, non pas parce qu'ils pensent que ça va leur faire passer un bon moment, mais parce que ça l'intéresse LUI...)

Tu prétends que cette série "tend vers 1/2". Peux-tu l'expliquer à quelqu'un qui te poserait la question ?

Que répondras-tu à quelqu'un qui te dit "Moi j'ai trouvé 0 car si je mets des parenthèses, cela donne (1-1)+(1-1)(1-1)+(1-1)+..." ?

Et si un autre te dit "Moi j'ai trouvé 1 car j'ai mis les parenthèses comme ça : 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+..." ?

[Dorian CAUDAL]

Tu prétends que cette série "tend vers 1/2". Peux-tu l'expliquer à quelqu'un qui te poserait la question ?

Que répondras-tu à quelqu'un qui te dit "Moi j'ai trouvé 0 car si je mets des parenthèses, cela donne (1-1)+(1-1)(1-1)+(1-1)+..." ?

Et si un autre te dit "Moi j'ai trouvé 1 car j'ai mis les parenthèses comme ça : 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+..." ?

Pour expliquer cela, je dirais que si on pose la question à tous les gens sur cette planète, et même plus (infini), la moyenne des réponses serait 1/2.

Je dis que tu poses une énigme dont tu n'es a priori pas capable d'expliquer la réponse personnellement (sans recracher ce que tu as lu ailleurs). Je me pose donc la question "Pourquoi, quel intérêt?"

On dirait que tu veux surprendre d'autres personnes "avec un secret que peu pourront comprendre" et qui t'a surpris toi-même. (C'est d'ailleurs assez intéressant car c'est ce que j'appelle le syndrome du magicien ACAAN, celui qui adore montrer un ACAAN à des profanes, non pas parce qu'ils pensent que ça va leur faire passer un bon moment, mais parce que ça l'intéresse LUI...)

Et oui, c'est un peu le "syndrome ACAAN", une curiosité mathématique, qui m' a surpris, en effet, et que je souhaite faire partager, tout simplement.

[Frédéric FERRER]

En somme, si je comprends bien, c'est infiniment bête tu es une bête de sommes !

Modifié 10 janvier 2014 par Komaneka

[Richard CCH]

Pour expliquer cela, je dirais que si on pose la question à tous les gens sur cette planète, et même plus (infini), la moyenne des réponses serait 1/2.

Hum hum...

Et oui, c'est un peu le "syndrome ACAAN", une curiosité mathématique, qui m' a surpris, en effet, et que je souhaite faire partager, tout simplement.

Tu pouvais mettre un simple lien vers le site...

Poser une question dont les autres n'ont pas la réponse est tellement plus jouissif... (Ce que j'appelle "le syndrome de l'enfant magicien qui joue avec des trucs" ou "Le problème de L'EGO": "Moi je sais comment ça fonctionne, je vous le montre parce que vous ne savez pas, je suis plus fort que vous!")