[Réflexion] Infini

[Jean-Paul LEROY]

Le scandale des séries divergentes ! (ou le retour de 1+2+3+4+5+… = -1/12)

Il s'agit de la suite (c'est le cas de le dire) apportée à la référence donnée par Friboudi dans le message précédent

Voici une synthèse qui me semble très intéressante, quoiqu'un peu difficile à suivre à partir des 2/3 en ce qui me concerne.

Elle a le mérite d'expliquer le paradoxe qui repose sur la façon de définir l'addition sur des suites infinies et d'attribuer une valeur à une sommation d'une série divergente.

Lien

[Thomas PELZER (Prof T)]

En moins ardu une équation étrange pour taquiner un professeur de mathématiques :

x² + x + 1 =0

(x n'est pas égal à 0 donc on divise par x, soit : x +1 +1/x =0

d'où

x + 1 = - 1/x

d'où en replaçant dans celle du début :

x² - 1/X = 0

x² = 1/X

x = 1

Et voici une solution dans les réels à une équation qui ne devrait pas en avoir.

[Yves LABEDADE]

De tête :

• X²+x+1=0 (forme ax²+bx+c=0) est une équation du second degré dont le discriminant (b²-4ac) est négatif => pas de solution dans l’ensemble des réels.

• X²=1/X => X³=1 pas de solution dans l’ensemble des réels

• 1 ne vérifie pas l’équation de départ (3=0).

• En conséquence, on ne peut pas utiliser le mécanisme d’implication car il ne vérifie pas l’équation initiale. Dit autrement, X+1=-1/X n’est vrai que si l’équation a une solution, ce qui n’est pas le cas. En conséquence, le remplacement ne peut être fait dans l’équation de départ. Il me semble que c’est ici que se situe l’erreur de raisonnement.

[Sébastien DIOU]

Je vais encore me faire rentrer dedans, mais tant pis.

Le problème c'est qu'effectivement les équations proposées ne sont pas équivalentes parce qu'elles n'ont pas le même ensemble de définition, la première étant définie sur R, la seconde (après division par x) seulement sur R*.

On doit donc poursuivre la résolution de l'équation en effectuant une disjonction de cas, et c'est peut-être aussi là que ça bloque.

C'est bien un problème d'implication...

[Yves LABEDADE]

Pourquoi vous faire renter dedans ? Il me semble que vous avez raison. C'est aussi une façon, moins "opérationnelle" mais plus simple peut être, d'expliquer l'erreur introduite dans le raisonnement.