[Réflexion] Même carte lors de la distribution en parallèle de deux jeux de cartes

[Invité]

Ce serait plus ceci : 2 chances sur 3 qu'aucune ne coïncide...

M'enfin j'dis ça, j'dis rien...

Non non, c'est bien 2 chances sur 3 d'avoir une coïncidence.

OK, j'avais compris deux coïncidences, et mal lu ce qui précède!

Amende honorable...

[Jean-Christophe ROUQUETTE]

Bon je vais embêter tout le monde en mettant mon grain de sel

J'ai essayé de résoudre le problème, et je me suis aperçu je pense d'une erreur dans les raisonnements précédents : vous ne prenez pas en compte que dans un jeu de cartes, toutes les cartes sont différentes. Pour moi ces résultats sont vrais seulement si on prenait des jeux de carte composés de cartes toutes prises au hasard, ce qui n'est pas le cas de nos bons vieux jeux de cartes.

Mais comme j'ai toujours du mal à mettre en forme tout ça je me suis fait un exemple, avec un jeu de trois cartes nommées 1 2 et 3.

Les jeux possibles sont :

123

132

213

231

312

321

Soit au total 21 paires différentes (en comptant les jeux strictement identiques).

Quand on compte, on a 9 cas de jeux avec une seule coïncidence, 6 avec toutes les cartes identiques et 6 avec aucune carte coïncidente.

Ainsi nous avons une probabilité de 9/21 = 3/7 d'avoir une et une seule carte qui coïncide.

Reprenons la méthode de calcul de danslesmanches :

Une seule coïncidence revient à enlever celle-ci et considérer que les autres ne coïncident pas, soit (1/2)^2 = 1/4.

Du coup :

- S'il y en a eu, où est le problème dans mon raisonnement ?

- S'il n'y en a pas, comment calculer tout ça ???

J'essaye de m'y mettre, et si j'ai une réponse ou un embryon de réponse, je vous dis ça.

[Invité]

Je pense que tu es bien embrouillé... mais vu l'heure je vais me coucher et je regarderai ça plus tard dans la journée...

[Invité Beru]

Ton raisonnement ma paraît bien compliqué. Déjà tu commets une erreur je pense, c'est que tu élimines les doublons. Dans ton modèle, tu vas compter la paire (123,132), mais tu ne prends pas en compte la paire (132,123). C'est, je pense, une erreur.

On arrive à un total de 36 paires différentes. Là-dessus, on arrive à 18 distributions avec une seule coïncidence. Donc 18/36=1/2.

Ci-dessous le décompte des possibilités. Les paires marquées d'un astérisque sont celles où une seule carte coïncide.

123 123

123 132*

123 213*

123 231

123 312

123 321*

132 123*

132 132

132 213

132 231*

132 312*

132 321

213 123*

213 132

213 213

213 231*

213 312*

213 321

231 123

231 132*

231 213*

231 231

231 312

231 321*

312 123

312 132*

312 213*

312 231

312 312

312 321*

321 123*

321 132

321 213

321 231*

321 312*

321 321

Bon, du coup j'arrive à une chance sur deux, ce qui ne correspond toujours pas à la solution proposée par danslesmanches.

Modifié 20 avril 2011 par Beru

[Guillaume FOUCHER]

il semble que vous ayez raison. je vais me remettre au travail pour voir ça de façon plus rigoureuse et rectifier mon raisonnement...

[Jean-Christophe ROUQUETTE]

Bon, petit post pour faire remonter ce problème et donner la solution au problème !

J'ai posé la question à un ami professeur de maths et grand amateur de problèmes de ce genre.

La réponse à notre problème est environ 0.6321, soit une probabilité d'un peu plus de 63% de chances d'avoir au moins une coïncidence.

Voici sa démarche qui m'a conquis :

Le nombre de jeux différents est 52!, jusque là on avait bien bon.

Sa démarche a été de chercher le nombre de permutations qui n'ont aucun point fixe (un mélange est une permutation). Ces permutations sont appelées "dérangements". En partant d'un jeu initial, c'est donc le nombre de jeux n'ayant aucune coïncidence. Ce nombre tend assez rapidement (à partir des jeux d'une dizaine de cartes) vers n!/e. La probabilité tend donc vers 1/e, ce qui est aussi la valeur vers laquelle on tend sans prendre en compte la dépendance des cartes.

Voici le cours qui donne le nombre de dérangements : http://jean-paul.davalan.pagesperso-orange.fr/proba/hats/derang.pdf

désolé de ne pas vous montrer la démonstration, mais je ne l'ai pas sous la main

Ainsi, la valeur trouvée était très proche même si elle n'était pas exacte !

[Dorian CAUDAL]

Mark Elsdon vient de sortir un "effet" (à utiliser en closer) basé sur ces questions... Je vous le conseille fortement Un vrai petit miracle d'un mathémagicien.

Lien vers le pdf ici

Encore testé hier soir... Une vraie tuerie cette routine!

Ce qui a le plus marqué les spectateurs n'était pas tellement la coïncidence, mais plus le fait que le jeu qu'ils ont librement choisi au départ était celui avec la carte de prédiction marquée au marqueur, et qu'il n'y avait pas cette carte dans leurs jeux servant à la distribution... Comme quoi...

[Allias]

existe t'il une video ?

[Dorian CAUDAL]

existe t'il une video ?

Pas à ma connaissance, mais je pourrai en faire une dès que j'en aurai l'occasion...

[Allias]

Ce serait super. Merci