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Publié le (modifié)

Vu quelque part sur internet, sur un café je crois, magic peut être...

1/3 + 2/3 = 3/3 = 1

d'accord?

On peut vérifier avec un gâteau qu'on coupe en 3.

Attention, pas le manger tout de suite !

on peut écrire cette équation sous la forme décimale avec

1/3 = 0,3333333... (répété à l'infini)

2/3 = 0,6666666...

donc on a :

0,33333...+ 0,66666...= 0,99999....

soit 1 = 0,99999....

Est-ce que ce sont les miettes du gâteau sur la ligne de coupe?

Une autre façon de paradoxer le 1 :

x = .9999999999

10x = 9.999999999

10x-x = 9x = 9

x = 1

1 et .99999999999...

sont identiques.

Y'a des matheux qui pourraient éclairer cela?

Parce que si 1 n'est pas 1 alors ça fait flipper.

ps : 0,9999... , 2, 3 nous irons au bois...

Modifié par Jac
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Publié le

Ce n'est pas un paradoxe mais une double écriture possible du même nombre (désolé d'avance pour le manque de rigueur dans certains passages, mais ça permet d'alléger, de mieux comprendre et en plus, j'écris ce message en vitesse ;) )

L'écriture décimale d'un nombre (à l'aide d'une virgule) est celle qu'on trouve communément autour de nous, comme les prix dans un magasin.

Un nombre est dit décimal quand son écriture décimale (voir ci-dessus) ne nécessite qu'un nombre limité de chiffres autres que 0 (après la virgule)

Exemples: 2,5463538

En effet, après le 8, il y a quelque chose, des 0. Mais on ne les écrit pas car il y en a une infinité ("et ce serait un peu long...surtout vers la fin")

Ensuite, il existe des nombres qui possèdent une infinité de chiffres différents de 0 après la virgule (les gens utilisent justement le ... pour symboliser le fait que l'écriture se répète sans cesse)

Si l'on considère le nombre représenté par l'écriture 0,99999... , on a tendance à croire intuitivement qu'il est différent de 1, qu'il est légèrement plus petit...mais il n'en est rien, ce sont deux écritures du même nombre.

Pour essayer de t'en persuader, dis toi que si ces deux écritures ne désignent pas le même nombre, tu peux alors en trouver un entre les deux...et alors comment pourrais-tu l'écrire...? tu es bloqué à cause des 9...

Ceci n'est pas une preuve, juste un "ah ah" mais des calculs pas plus compliqués que ceux que tu as exposés peuvent le démontrer de façon rigoureuse.

Une chose qui complique aussi la vision de ceci, c'est que la notion d'infini s'invite et il faut bien différencier 1,33 de 1,33333.... (les élèves et leur déesse calculatrice en font les frais chaque année...)

Cet exemple soulève une question: l'unicité d'une telle écriture.. On parle alors d'un développement décimal impropre pour le 0,999999...

Pour finir, tout nombre décimal peut s'écrire de deux façons: avec une infinité de 0 ou avec une infinité de 9... ;)

Exemple : 3,69786 est 3,69786000.... et 3,6978599999....

J'espère que ça répond un peu à ta question, désolé si je suis flou, je viens d'écrire cela un peu rapidement, je dois chopper le prochain train!

à plus Jac! ;)

PS: pour l'exemple du gâteau, il ne s'agit donc pas des morceaux laissés sur la lame du couteau... mdr

Publié le

Non Iris, c'est un problème de priorité calculatoire. Si tu as tapé ce que tu as écris sur VM, il s'est passé la chose suivante:

1 / 3 + 2 + / 3 =

La calculatrice a d'abord compris que tu lui demandé 1/3 et donc garde "un tiers" en mémoire.

Ensuite tu ajoutes 2, elle a compris qu'il fallait l'ajouter "au tiers". Elle a donc maintenant "7 tiers" en mémoire (un tiers plus six tiers)

Vient enfin la division par 3. Elle a divisé toute sa mémoire par 3, c'est à dire qu'elle obtient 7/9

Vient le problème de l'affichage de la réponse. Les calculatrices standards donnent une valeur approchée. Elle va donc inscrire 0,77777777777 ou 0,777777777778 suivant les modèles...

Voili voilou... ;)

Publié le

C'est vraiment devenu l'intelligence artificielle pour de nombreux élèves... ils ouvrent leur calculatrice pour faire une multiplication du type 6 x 7... au collège je n'arrive toujours pas à m'y faire...

Publié le

Donc si je comprend bien ce que j'essaye de comprendre bien :

1/3 est un "vrai" nombre pur.

0,3333333.... est l'approximation jamais réalisée de 1.

Un idéal jamais atteint.

(à méditer, quelqu'un peut nous faire 10 pages là- dessus? :) )

1/3 est une part théorique de gâteau.

0,3333... est la part réelle (moins les miettes...)

Ce qui veut dire qu'on fond 1 ne se définit pas par le résultat d'un équation,

mais qu'il en est la source.

Monsieur M (comme maths?):

c'est vrai que en langage math on peut vraiment écrire :

1,20 = 1,199999999.... ?

Y a t'il des applications?

Y a t'il des domaines spécifiques qui explorent cela. Parce que c'est énorme.

Des études sur cette infiniment petit qui tend vers 0. un monde en soi?

Argh, j'ai un orgasme cosmique.

Publié le

Attention à dissocier le nombre de sa représentation écrite

1/3 est une autre représentation de la quantité (pour les grecs, les nombres étaient des rapports...mais je ne m'étendra pas là-dessus par manque de temps) mais tous les nombres ne peuvent s'écrire sous forme d'un quotient (la fameuse histoire de la racine carrée de deux par exemple)

Je ne rentre pas dans ta "battle" Jac... ;) Mais ce sera un plaisir d'en parler quand nous nous croiserons. Pour les applications, j'en connais des mathématiques (constructions d'ensembles comme R et théorèmes mais je ne sais pas si ça répond à ta question, en plus, tout théorème mathématiques n'a pas une application concrète et directe... ;) )

PS: Vu que je te vois émerveillé par cela, connais-tu le paradoxe de la flèche de Zénon...? (il reste toujours à la flèche la moitié de son parcours à effectuer...et comme la moitié d'une longueur qui n'est pas nulle n'est jamais nulle, la flèche a toujours quelque chose à parcourir... mdr )

Publié le (modifié)

Pfff, dégonflé va. :)

Oui je connais le paradoxe de Zenon, mais c'est pas un vrai paradoxe;

parce que de toute façon la flêche elle a que ça à faire, toujours quelque chose à parcourir.

Et quand on la reçoit dans le "arrière -train" (et pan sur le vulgarité/insulte !)

alors on sait que la terre est ronde.

enfin tout ça c'est 0,99999... peu mon neveu.

Modifié par Jac

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    • Alors malheureusement cela va être avec Chat GPT... mais visiblement la liste des philosophes pragmatiques les plus éminents sont (je vous mets en italique ce qui pourrait concerner notre débat): Charles Sanders Peirce (1839–1914) — Fondateur du pragmatisme. Il développe la maxime pragmatique selon laquelle le sens d'une idée se comprend à travers ses conséquences concevables dans l'expérience (proche de Christian). Il insiste sur l'enquête scientifique, la logique et la formation collective des croyances. William James (1842–1910) — Le pragmatisme comme philosophie de l'expérience (C'est déjà ailleurs). Pour James, la valeur d'une idée se mesure notamment à ce qu'elle permet de faire, de comprendre ou de vivre. Son pragmatisme est profondément empiriste, pluraliste et attentif à l'expérience individuelle. John Dewey (1859–1952) — Le pragmatisme comme philosophie de l'action et de la démocratie. Dewey conçoit la pensée comme un instrument permettant de résoudre des problèmes concrets. Il applique cette conception à l'éducation, à la politique, à l'éthique et à la démocratie. George Herbert Mead (1863–1931) — Le pragmatisme social. Il analyse la formation du « soi » à travers les interactions sociales, le langage et l'action. Sa pensée est fondamentale pour comprendre la dimension sociale et intersubjective du pragmatisme (avec l'intersubjectivité on s'éloigne de "la mesure" scientifique). [...je vous en passe 4 qui étaient plus sur des problèmes sociaux] Alfred North Whitehead (1861–1947) — Le pragmatisme processuel. Whitehead conçoit la réalité non comme un ensemble de substances immuables, mais comme un processus dynamique d'événements et de relations (voilà...ma réf!). Proche de James et de Dewey sur plusieurs points, il développe toutefois une métaphysique systématique de la créativité, du devenir et de l'expérience. Il est donc pragmatique au sens large, et particulièrement important pour le pragmatisme processuel. Richard Rorty (1931–2007) — Le néo-pragmatisme. Il rejette l'idée que la philosophie puisse découvrir une représentation définitive de la réalité (ce qu'on devrait admettre aujourd'hui!). La vérité doit plutôt être comprise à partir de nos pratiques linguistiques, de nos usages et de nos conversations. Il rapproche le pragmatisme de la philosophie analytique et du postmodernisme. Hilary Putnam (1926–2016) — Le pragmatisme réaliste. Il reprend le pragmatisme de Peirce, James et Dewey tout en cherchant à préserver une forme de rationalité et de réalisme. Il critique notamment la séparation rigide entre faits et valeurs (pas moins intéressant!). ...puis d'autres...
    • Le problème est, de mon point de vue, que la conscience (si ce terme se rapporte à quelque chose de clairement identifiable, ce qui est loin d'être le cas) n'existait pas avant l'univers physique, jusqu'à preuve du contraire. Bref, un univers évolue et crée des structures de plus en plus complexes, notamment un cerveau grâce auquel par émergence apparaît un phénomène dit de conscience (qui n'est PAS un gigantesque univers immatériel à part entière mais juste une « poignée d'étincelles psychiques » difficiles à déterminer). Cet univers évolutif dans sa complexité est plus parcimonieux qu'un univers de conscience invisible, inaccessible, indéterminé, immatériel, non local et auquel on peut prêter mille et une propriétés invérifiables et qui produirait un rêve (dans quel but ?) qui serait notre monde physique dans toute sa complexité. De la même façon je ne pense pas que le vol d'un oiseau existe avant l'oiseau, que le concept de vol génère l'animal lui-même, nanti de ses propriétés et ses spécificités qui lui permettent de voler.  J'ajoute : Si la conscience est une sorte d'illusion, comme je l'ai déjà exposé, on n'a plus vraiment à se poser le problème du mystérieux passage du monde physique à celui de la conscience. Par ailleurs ce n'est pas parce qu'on n'a pas encore la réponse à cette question du prétendu « changement de nature » entre monde physique et conscience qu'on ne pourra pas y répondre un jour.   
    • Il permet effectivement de sortir des impasses du matérialisme sans retomber dans un dualisme cartésien (ou un idéalisme trop spiritualiste voire mystique). Il me semble, aussi, qu'il permet de dépasser, d'une certaine manière, la dualité entre l'esprit et la matière puisque ce qui devient fondamental chez Whitehead, ce n'est plus ni l'esprit ni la matière, mais l'expérience... ou, plus exactement, les événements d'expérience dont l'esprit et la matière sont des abstractions dérivées !   Oui ! Et du coup je ne suis pas sûr que Christian et toi utilisiez le mot "pragmatique" avec la même définition. 🙂 ... Au sens où il me semble que pour un philosophe pragmatique, une expérience c'est le fait qu’il y ait quelque chose qui soit vécu, ressenti ou éprouvé, plutôt que simplement décrit de l’extérieur. Et surtout : L'expérience n'est pas quelque chose qui apparaît miraculeusement à la fin d'un processus matériel ; elle appartient dès le départ à la structure du réel. (désolé si ce n'est pas très compréhensible... J'essaie de faire au mieux sans chatGPT 🤣)
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