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[Divers] 1 n'est pas égal à 1 : paradoxe


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Vu quelque part sur internet, sur un café je crois, magic peut être...

1/3 + 2/3 = 3/3 = 1

d'accord?

On peut vérifier avec un gâteau qu'on coupe en 3.

Attention, pas le manger tout de suite !

on peut écrire cette équation sous la forme décimale avec

1/3 = 0,3333333... (répété à l'infini)

2/3 = 0,6666666...

donc on a :

0,33333...+ 0,66666...= 0,99999....

soit 1 = 0,99999....

Est-ce que ce sont les miettes du gâteau sur la ligne de coupe?

Une autre façon de paradoxer le 1 :

x = .9999999999

10x = 9.999999999

10x-x = 9x = 9

x = 1

1 et .99999999999...

sont identiques.

Y'a des matheux qui pourraient éclairer cela?

Parce que si 1 n'est pas 1 alors ça fait flipper.

ps : 0,9999... , 2, 3 nous irons au bois...

Modifié par Jac
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Ce n'est pas un paradoxe mais une double écriture possible du même nombre (désolé d'avance pour le manque de rigueur dans certains passages, mais ça permet d'alléger, de mieux comprendre et en plus, j'écris ce message en vitesse ;) )

L'écriture décimale d'un nombre (à l'aide d'une virgule) est celle qu'on trouve communément autour de nous, comme les prix dans un magasin.

Un nombre est dit décimal quand son écriture décimale (voir ci-dessus) ne nécessite qu'un nombre limité de chiffres autres que 0 (après la virgule)

Exemples: 2,5463538

En effet, après le 8, il y a quelque chose, des 0. Mais on ne les écrit pas car il y en a une infinité ("et ce serait un peu long...surtout vers la fin")

Ensuite, il existe des nombres qui possèdent une infinité de chiffres différents de 0 après la virgule (les gens utilisent justement le ... pour symboliser le fait que l'écriture se répète sans cesse)

Si l'on considère le nombre représenté par l'écriture 0,99999... , on a tendance à croire intuitivement qu'il est différent de 1, qu'il est légèrement plus petit...mais il n'en est rien, ce sont deux écritures du même nombre.

Pour essayer de t'en persuader, dis toi que si ces deux écritures ne désignent pas le même nombre, tu peux alors en trouver un entre les deux...et alors comment pourrais-tu l'écrire...? tu es bloqué à cause des 9...

Ceci n'est pas une preuve, juste un "ah ah" mais des calculs pas plus compliqués que ceux que tu as exposés peuvent le démontrer de façon rigoureuse.

Une chose qui complique aussi la vision de ceci, c'est que la notion d'infini s'invite et il faut bien différencier 1,33 de 1,33333.... (les élèves et leur déesse calculatrice en font les frais chaque année...)

Cet exemple soulève une question: l'unicité d'une telle écriture.. On parle alors d'un développement décimal impropre pour le 0,999999...

Pour finir, tout nombre décimal peut s'écrire de deux façons: avec une infinité de 0 ou avec une infinité de 9... ;)

Exemple : 3,69786 est 3,69786000.... et 3,6978599999....

J'espère que ça répond un peu à ta question, désolé si je suis flou, je viens d'écrire cela un peu rapidement, je dois chopper le prochain train!

à plus Jac! ;)

PS: pour l'exemple du gâteau, il ne s'agit donc pas des morceaux laissés sur la lame du couteau... mdr

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Non Iris, c'est un problème de priorité calculatoire. Si tu as tapé ce que tu as écris sur VM, il s'est passé la chose suivante:

1 / 3 + 2 + / 3 =

La calculatrice a d'abord compris que tu lui demandé 1/3 et donc garde "un tiers" en mémoire.

Ensuite tu ajoutes 2, elle a compris qu'il fallait l'ajouter "au tiers". Elle a donc maintenant "7 tiers" en mémoire (un tiers plus six tiers)

Vient enfin la division par 3. Elle a divisé toute sa mémoire par 3, c'est à dire qu'elle obtient 7/9

Vient le problème de l'affichage de la réponse. Les calculatrices standards donnent une valeur approchée. Elle va donc inscrire 0,77777777777 ou 0,777777777778 suivant les modèles...

Voili voilou... ;)

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Donc si je comprend bien ce que j'essaye de comprendre bien :

1/3 est un "vrai" nombre pur.

0,3333333.... est l'approximation jamais réalisée de 1.

Un idéal jamais atteint.

(à méditer, quelqu'un peut nous faire 10 pages là- dessus? :) )

1/3 est une part théorique de gâteau.

0,3333... est la part réelle (moins les miettes...)

Ce qui veut dire qu'on fond 1 ne se définit pas par le résultat d'un équation,

mais qu'il en est la source.

Monsieur M (comme maths?):

c'est vrai que en langage math on peut vraiment écrire :

1,20 = 1,199999999.... ?

Y a t'il des applications?

Y a t'il des domaines spécifiques qui explorent cela. Parce que c'est énorme.

Des études sur cette infiniment petit qui tend vers 0. un monde en soi?

Argh, j'ai un orgasme cosmique.

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Attention à dissocier le nombre de sa représentation écrite

1/3 est une autre représentation de la quantité (pour les grecs, les nombres étaient des rapports...mais je ne m'étendra pas là-dessus par manque de temps) mais tous les nombres ne peuvent s'écrire sous forme d'un quotient (la fameuse histoire de la racine carrée de deux par exemple)

Je ne rentre pas dans ta "battle" Jac... ;) Mais ce sera un plaisir d'en parler quand nous nous croiserons. Pour les applications, j'en connais des mathématiques (constructions d'ensembles comme R et théorèmes mais je ne sais pas si ça répond à ta question, en plus, tout théorème mathématiques n'a pas une application concrète et directe... ;) )

PS: Vu que je te vois émerveillé par cela, connais-tu le paradoxe de la flèche de Zénon...? (il reste toujours à la flèche la moitié de son parcours à effectuer...et comme la moitié d'une longueur qui n'est pas nulle n'est jamais nulle, la flèche a toujours quelque chose à parcourir... mdr )

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Pfff, dégonflé va. :)

Oui je connais le paradoxe de Zenon, mais c'est pas un vrai paradoxe;

parce que de toute façon la flêche elle a que ça à faire, toujours quelque chose à parcourir.

Et quand on la reçoit dans le "arrière -train" (et pan sur le vulgarité/insulte !)

alors on sait que la terre est ronde.

enfin tout ça c'est 0,99999... peu mon neveu.

Modifié par Jac
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    • Question : comment définissez-vous cette notion de tours "workers" ?
    • Salut Noham, J'ai longtemps été obsédé par l'idée de trouver des tours "workers". Cette obsession m'amenait parfois à rejeter des tours qui me plaisaient pourtant beaucoup, les jugeant "trop longs", "pas assez dynamiques", "pas assez visuels" ou "trop narratifs". Mais au fil du temps, j'ai commencé à m'autoriser des libertés avec ces critères présupposés, et j'ai découvert que ça fonctionnait remarquablement bien. Bien sûr, il existe des contraintes techniques réelles. En close-up, debout en table à table, certaines manipulations comme le lap***g sont difficilement possible, et les tours nécessitant un gros setup peuvent être problématiques sans possibilité de reset rapide. Cependant, la plupart des tours ne présentent pas ces limitations. Et même quand c'est le cas, il existe souvent des solutions d'adaptation. Par exemple, les tours comportant une part d'incertitude peuvent devenir parfaitement professionnels si tous les outs possibles sont anticipés et préparés. Il me semble, que l'essentiel n'est donc pas tant de chercher des workers que de transformer les tours qui nous passionnent en workers. Il s'agit de les adapter à notre style, notre rythme, l'ambiance du lieu et celle que nous souhaitons créer. Je sais que c'est un peu banal de dire cela, mais ce n'est pas tant le choix du tour qui compte que ce que nous en faisons. Les formules toutes faites peuvent parfois être plus limitantes qu'utiles. Les openers illustrent parfaitement ça. Il y a quelques années, j'avais créé un numéro débutant par un tour lent, narratif, peu visuel, avec un seul effet magique. Pendant longtemps, je n'ai pas osé le présenter ainsi, convaincu du fait que les openers doivent être dynamiques, visuels et courts. Je faisais donc des versions alternatives. Puis un jour, j'ai tenté l'tour d'entrée original, et j'ai réalisé qu'il fonctionnait remarquablement bien, voire mieux. Il était en parfaite cohérence avec le reste du numéro, installait l'ambiance, le rythme et l'univers souhaité. Les spectateurs y étaient réceptifs, même dans des conditions difficiles comme des restaurants bruyants en table à table. Mon conseil serait d'explorer ta bibliothèque actuelle, d'identifier les tours qui te passionnent vraiment, et de réfléchir à leur adaptation. Et si tu souhaites acquérir de nouveaux effets, choisis-les avant tout en fonction de ce qui te motive et te fascine. Pour répondre concrètement à ta question, voici les quatre tours que je présente le plus souvent : Le bonneteau en main de New Wave Close-up : ce tour me touche particulièrement car c'est le premier pour lequel j'ai écrit un script complet, ce qui me permet de partager facilement cette émotion avec mes spectateurs. Un effet de "cartes jumelles" remanié, inspiré d'un effet trouvé dans les True Astonishments de Paul Harris : une carte se retourne, sa jumelle suit, puis viennent déchirures et dessins. J'ai développé pour ce tour mon texte le plus abouti. Un Out of This World (version Paul Harris, je crois) : malgré quelques "incertitudes" potentielles, j'ai développé une présentation qui les élimine toutes ainsi que les moments délicats de la routine. C'est un effet que j'affectionne pour sa simplicité de compréhension, son impossibilité apparente et son exécution entièrement dans les mains du spectateur. Je le fais toujours précéder d'un autre tour permettant de faire le setup de façon invisible. Un effet où un spectateur choisit une carte sans la regarder pendant qu'un autre en imagine une, pour découvrir qu'il s'agit de la même. Son impact repose tant sur son impossibilité que sur son texte présentant la magie comme point de rencontre entre réel et imaginaire. J'apprécie particulièrement ses techniques et l'élégance de sa construction, notamment dans la gestion des outs possibles.   J'espère que ma réponse n'est pas trop à côté de la plaque ou trop naïve. Je te souhaite de trouver ce que tu cherches !
    • Le livre Pop Up Magic d'Eric Leblon m'a été d'une grande aide pour définir mes choix de présentation. Ainsi que Close-Up de David Stone.
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