[Divers] 1 n'est pas égal à 1 : paradoxe

[Jacques TRRN]

Vu quelque part sur internet, sur un café je crois, magic peut être...

1/3 + 2/3 = 3/3 = 1

d'accord?

On peut vérifier avec un gâteau qu'on coupe en 3.

Attention, pas le manger tout de suite !

on peut écrire cette équation sous la forme décimale avec

1/3 = 0,3333333... (répété à l'infini)

2/3 = 0,6666666...

donc on a :

0,33333...+ 0,66666...= 0,99999....

soit 1 = 0,99999....

Est-ce que ce sont les miettes du gâteau sur la ligne de coupe?

Une autre façon de paradoxer le 1 :

x = .9999999999

10x = 9.999999999

10x-x = 9x = 9

x = 1

1 et .99999999999...

sont identiques.

Y'a des matheux qui pourraient éclairer cela?

Parce que si 1 n'est pas 1 alors ça fait flipper.

ps : 0,9999... , 2, 3 nous irons au bois...

Modifié 24 mai 2010 par Jac

[Sébastien LESTRADE]

Un matheux qui pourrait éclairer cela ? bien sûr mais il est parfois un peu aware !

[Richard CCH]

Ce n'est pas un paradoxe mais une double écriture possible du même nombre (désolé d'avance pour le manque de rigueur dans certains passages, mais ça permet d'alléger, de mieux comprendre et en plus, j'écris ce message en vitesse )

L'écriture décimale d'un nombre (à l'aide d'une virgule) est celle qu'on trouve communément autour de nous, comme les prix dans un magasin.

Un nombre est dit décimal quand son écriture décimale (voir ci-dessus) ne nécessite qu'un nombre limité de chiffres autres que 0 (après la virgule)

Exemples: 2,5463538

En effet, après le 8, il y a quelque chose, des 0. Mais on ne les écrit pas car il y en a une infinité ("et ce serait un peu long...surtout vers la fin")

Ensuite, il existe des nombres qui possèdent une infinité de chiffres différents de 0 après la virgule (les gens utilisent justement le ... pour symboliser le fait que l'écriture se répète sans cesse)

Si l'on considère le nombre représenté par l'écriture 0,99999... , on a tendance à croire intuitivement qu'il est différent de 1, qu'il est légèrement plus petit...mais il n'en est rien, ce sont deux écritures du même nombre.

Pour essayer de t'en persuader, dis toi que si ces deux écritures ne désignent pas le même nombre, tu peux alors en trouver un entre les deux...et alors comment pourrais-tu l'écrire...? tu es bloqué à cause des 9...

Ceci n'est pas une preuve, juste un "ah ah" mais des calculs pas plus compliqués que ceux que tu as exposés peuvent le démontrer de façon rigoureuse.

Une chose qui complique aussi la vision de ceci, c'est que la notion d'infini s'invite et il faut bien différencier 1,33 de 1,33333.... (les élèves et leur déesse calculatrice en font les frais chaque année...)

Cet exemple soulève une question: l'unicité d'une telle écriture.. On parle alors d'un développement décimal impropre pour le 0,999999...

Pour finir, tout nombre décimal peut s'écrire de deux façons: avec une infinité de 0 ou avec une infinité de 9...

Exemple : 3,69786 est 3,69786000.... et 3,6978599999....

J'espère que ça répond un peu à ta question, désolé si je suis flou, je viens d'écrire cela un peu rapidement, je dois chopper le prochain train!

à plus Jac!

PS: pour l'exemple du gâteau, il ne s'agit donc pas des morceaux laissés sur la lame du couteau...

[Iris KIEFFER]

Et quand on tape 1/3 + 2/3 sur la calculette on trouve 0.7777777 en résultat ...

C'est normal ou j'ai bien fait de faire L ?

[Richard CCH]

Non Iris, c'est un problème de priorité calculatoire. Si tu as tapé ce que tu as écris sur VM, il s'est passé la chose suivante:

1 / 3 + 2 + / 3 =

La calculatrice a d'abord compris que tu lui demandé 1/3 et donc garde "un tiers" en mémoire.

Ensuite tu ajoutes 2, elle a compris qu'il fallait l'ajouter "au tiers". Elle a donc maintenant "7 tiers" en mémoire (un tiers plus six tiers)

Vient enfin la division par 3. Elle a divisé toute sa mémoire par 3, c'est à dire qu'elle obtient 7/9

Vient le problème de l'affichage de la réponse. Les calculatrices standards donnent une valeur approchée. Elle va donc inscrire 0,77777777777 ou 0,777777777778 suivant les modèles...

Voili voilou...

[Iris KIEFFER]

Ahh d'accord ! Merci Richard !

Je comprends maintenant pourquoi on interdit la calculette pendant les interros

[Richard CCH]

C'est vraiment devenu l'intelligence artificielle pour de nombreux élèves... ils ouvrent leur calculatrice pour faire une multiplication du type 6 x 7... au collège je n'arrive toujours pas à m'y faire...

[Jacques TRRN]

Donc si je comprend bien ce que j'essaye de comprendre bien :

1/3 est un "vrai" nombre pur.

0,3333333.... est l'approximation jamais réalisée de 1.

Un idéal jamais atteint.

(à méditer, quelqu'un peut nous faire 10 pages là- dessus? )

1/3 est une part théorique de gâteau.

0,3333... est la part réelle (moins les miettes...)

Ce qui veut dire qu'on fond 1 ne se définit pas par le résultat d'un équation,

mais qu'il en est la source.

Monsieur M (comme maths?):

c'est vrai que en langage math on peut vraiment écrire :

1,20 = 1,199999999.... ?

Y a t'il des applications?

Y a t'il des domaines spécifiques qui explorent cela. Parce que c'est énorme.

Des études sur cette infiniment petit qui tend vers 0. un monde en soi?

Argh, j'ai un orgasme cosmique.

[Richard CCH]

Attention à dissocier le nombre de sa représentation écrite

1/3 est une autre représentation de la quantité (pour les grecs, les nombres étaient des rapports...mais je ne m'étendra pas là-dessus par manque de temps) mais tous les nombres ne peuvent s'écrire sous forme d'un quotient (la fameuse histoire de la racine carrée de deux par exemple)

Je ne rentre pas dans ta "battle" Jac... Mais ce sera un plaisir d'en parler quand nous nous croiserons. Pour les applications, j'en connais des mathématiques (constructions d'ensembles comme R et théorèmes mais je ne sais pas si ça répond à ta question, en plus, tout théorème mathématiques n'a pas une application concrète et directe... )

PS: Vu que je te vois émerveillé par cela, connais-tu le paradoxe de la flèche de Zénon...? (il reste toujours à la flèche la moitié de son parcours à effectuer...et comme la moitié d'une longueur qui n'est pas nulle n'est jamais nulle, la flèche a toujours quelque chose à parcourir... )

[Jacques TRRN]

Pfff, dégonflé va.

Oui je connais le paradoxe de Zenon, mais c'est pas un vrai paradoxe;

parce que de toute façon la flêche elle a que ça à faire, toujours quelque chose à parcourir.

Et quand on la reçoit dans le "arrière -train" (et pan sur le vulgarité/insulte !)

alors on sait que la terre est ronde.

enfin tout ça c'est 0,99999... peu mon neveu.

Modifié 24 mai 2010 par Jac