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Possibilités de votre Jeu de 52 Cartes


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Propre. Ça peut nous aider donc.

Cette fonction f induit une bijection de IR sur ]0;1[ n'est ce pas. L'intérêt ici est donc de jouer non plus sur IR mais sur ]0;1[ de même cardinal mais qui lui est un borné. 

La stratégie alors est de choisir un nombre réel r au hasard et de regarder sa probabilité f(r) ( je passe toute la partie de construction rigoureuse et de langage IP(X=r) par gros abus de langage et flemme matinale ),

d'être tiré puis de le comparer à f(A) où A serait le nombre inscrit sur le papier choisi de mon jeu. Et voir si on peut en déduire des choses.

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Il y a 22 heures, Frédéric HÔ a dit :

Propre. Ça peut nous aider donc.

Cette fonction f induit une bijection de IR sur ]0;1[ n'est ce pas. L'intérêt ici est donc de jouer non plus sur IR mais sur ]0;1[ de même cardinal mais qui lui est un borné. 

La stratégie alors est de choisir un nombre réel r au hasard et de regarder sa probabilité f(r) ( je passe toute la partie de construction rigoureuse et de langage IP(X=r) par gros abus de langage et flemme matinale ),

d'être tiré puis de le comparer à f(A) où A serait le nombre inscrit sur le papier choisi de mon jeu. Et voir si on peut en déduire des choses.

Si on ne peut rien en déduire, on regarde différemment.

Choisissons d'abord A avec sa probabilité f(A) et on le compare à un nombre réel s pris au hasard dans l'intervalle ]0;1[ . Puis on fixe les choses:

Si s < f(A) alors A est le plus grand nombre

Si s > f(A) alors A est le plus petit nombre

Avec cette stratégie, la probabilité de trouver le plus grand nombre est:

1/2f(G) +1/2(1 - f(P))

Où G désigne le nombre le plus grand et P le plus petit

Est ce que c'est vrai? Reste à le démontrer @Frédéric NAUD

Si oui c'est terminé car alors la probabilité  vaut:

1/2 + 1/2 (f(G) - f(P))

Et comme G > P avec la stricte monotonie de f cela donne f(G) > f(P)

Soit une probabilité strictement plus grande que 1/2.

 

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Sans trop m'éloigner du sujet je vous signale que le mathématicien Wigderson vient de recevoir le prestigieux prix Turing suite à son travail sur les algorithmes informatiques.

En effet ceux-ci fonctionnent comme chacun sait selon des règles prédéfinies qui permettent donc de faire des prédictions. Mais celles-ci sont souvent biaisées dans le monde réel où le hasard et l'aléatoire viennent pointer leur nez chroniquement.

Il a fait une superbe découverte:il a introduit de l'aléatoire dans des algorithmes et constaté que cela simplifiait ( paradoxalement) la résolution de problèmes complexes ( justement complexes car faisant intervenir l'aléatoire)!!.

Et cerise sur le gâteau il a montré que si inversement on retirait l'aléatoire d'algorithmes probabilistes on obtenait des algorithmes déterministes!!!

J'ai immédiatement pensé à regarder ce que cela pouvait donner avec des algorithmes utilisés dans certaines procédures de routines de magie; j'y ai introduit du hasard et miracle , cela semble exploitable! 😀

 

  • Merci 1
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il y a une heure, Jean-Luc THIEFIN a dit :

Sans trop m'éloigner du sujet je vous signale que le mathématicien Wigderson vient de recevoir le prestigieux prix Turing suite à son travail sur les  algorithmes informatiques.

Profitons en pour ne pas bouder l'excellence de par chez nous en célébrant ce Monsieur incroyablement humble et pourtant un cador ( en probabilité en autres) qu'est le mathématicien Michel Talagrand qui a reçu en mars le prix Abel.

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Je pense avoir prouvé ce qui suit :

Avec ce processus :

le joueur 1 marque au hasard un nombre x de [0;1] sur un papier puis un nombre y de [0;1] différent de x sur un autre papier, le joueur 2 choisit au hasard un des deux papiers,

le joueur 2 a une chance sur 2 d'avoir le plus grand des deux nombres x et y s'il garde le nombre du papier qu'il a choisi (stratégie 1),

il a 3 chances sur 4 d'avoir le plus grand des deux nombres x et y s'il opte pour la stratégie 2 : garder le nombre du papier qu'il a choisi si celui-ci est supérieur ou égal à 1/2, prendre le nombre du papier qu'il n'a pas choisi sinon.

Preuve (j'espère) ici :

jeu Frédéric Hô.pdf

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Fredopathe

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Le 20/04/2024 à 19:01, Frédéric NAUD a dit :

Je pense avoir prouvé ce qui suit :

Avec ce processus :

le joueur 1 marque au hasard un nombre x de [0;1] sur un papier puis un nombre y de [0;1] différent de x sur un autre papier, le joueur 2 choisit au hasard un des deux papiers,

le joueur 2 a une chance sur 2 d'avoir le plus grand des deux nombres x et y s'il garde le nombre du papier qu'il a choisi (stratégie 1),

il a 3 chances sur 4 d'avoir le plus grand des deux nombres x et y s'il opte pour la stratégie 2 : garder le nombre du papier qu'il a choisi si celui-ci est supérieur ou égal à 1/2, prendre le nombre du papier qu'il n'a pas choisi sinon.

Preuve (j'espère) ici :

jeu Frédéric Hô.pdf 303.55 Ko · 

Joli. Un petit jeu somme toute très contre intuitif au premier abord n'est ce pas @Frédéric NAUD

Il est possible de s'amuser à le généraliser avec non plus 2 papiers mais n papiers. 

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Le 17/04/2024 à 08:11, Frédéric HÔ a dit :

Si on ne peut rien en déduire, on regarde différemment.

Choisissons d'abord A avec sa probabilité f(A) et on le compare à un nombre réel s pris au hasard dans l'intervalle ]0;1[ . Puis on fixe les choses:

Si s < f(A) alors A est le plus grand nombre

Si s > f(A) alors A est le plus petit nombre

Avec cette stratégie, la probabilité de trouver le plus grand nombre est:

1/2f(G) +1/2(1 - f(P))

Où G désigne le nombre le plus grand et P le plus petit

Est ce que c'est vrai? Reste à le démontrer @Frédéric NAUD

Si oui c'est terminé car alors la probabilité  vaut:

1/2 + 1/2 (f(G) - f(P))

Et comme G > P avec la stricte monotonie de f cela donne f(G) > f(P)

Soit une probabilité strictement plus grande que 1/2

Tout ça est ok sauf que dans l'histoire, la fonction f n'est pas une probabilité, non ? C'est juste une bijection de IR sur ]0;1[ (et je pense que n'importe laquelle convient dans la mesure où elle est strictement croissante). La variable s quand elle suit la loi uniforme sur [0;1].

Voici la preuve que tu me demandais :

Jeu Frédéric Hô bis.pdf

Cette stratégie est sympa. Par contre la proba dépend des nombres inscrits... Pour se rendre compte de l'efficacité de la stratégie, il faudrait travailler sur f(G) - f(P) et donc sur le choix de la fonction f.

Il y a 7 heures, Frédéric HÔ a dit :

Il est possible de s'amuser à le généraliser avec non plus 2 papiers mais n papiers. 

Effectivement, la proba de gagner en adoptant la stratégie :

"si le nombre inscrit sur le papier choisi est supérieur ou égal à 1/2, on parie que c'est lui le plus grand, sinon on parie sur un autre au hasard"

doit donner une probabilité de gagner supérieure à 1/2.

Autre chose sur ton jeu d'origine : voici une version un peu plus générale de ce que j'ai (je pense) démontré :

Le joueur 1 inscrit au hasard sur un papier un nombre réel x de l'intervalle ]-A;A[ (où A est un réel strictement positif), puis sur un autre papier un nombre réel y différent de x, lui aussi dans ]-A;A[.  Le joueur 2 choisit un papier. La stratégie :

"si le nombre inscrit sur le papier choisi est supérieur ou égal à 0, on parie que c'est lui le plus grand, sinon on parie sur l'autre"

donne encore (avec un calcul un peu plus compliqué mais similaire à celui que j'ai posté précédemment) une probabilité de gagner de 3/4, quelque soit la valeur de A.

Faire tendre A vers l'infini est possible mais ne nous affranchit pas de choisir x et y dans ]-A;A[ dès le début, et de conditionner les probabilités calculées au choix de A.

 

 

Fredopathe

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Le 22/04/2024 à 17:05, Frédéric NAUD a dit :

Tout ça est ok sauf que dans l'histoire, la fonction f n'est pas une probabilité, non ? C'est juste une bijection de IR sur ]0;1[ (et je pense que n'importe laquelle convient dans la mesure où elle est strictement croissante). La variable s quand elle suit la loi uniforme sur [0;1]


 

J'ai utilisé ici la loi logistique qui est une méthode de transformée inverse.

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