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Par simple précaution, un statisticien effectue un dépistage du covid. Il reçoit alors la lettre suivante:

Monsieur,
Nous avons tenter de dépister chez vous le covid qui touche une personne sur 10.000. Malheureusement, le test de dépistage que nous vous avons fait subir, fiable à 99%, s'est révélé positif.

...

Là-dessus le statisticien pousse un ouf de soulagement.

Pourquoi ?

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(De mémoire j'ai posté dans VM deux interventions vidéo relatives à cette énigme contre-intuitive, l'une de Gérald Bronner et l'autre d'Étienne Klein.)

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il y a 35 minutes, Aurélien B. (TanMai) a dit :

Par simple précaution, un statisticien effectue un dépistage du covid. Il reçoit alors la lettre suivante:

Monsieur,
Nous avons tenter de dépister chez vous le covid qui touche une personne sur 10.000. Malheureusement, le test de dépistage que nous vous avons fait subir, fiable à 99%, s'est révélé positif.

...

Là-dessus le statisticien pousse un ouf de soulagement.

Pourquoi ?

Il manque des choses dans ton énigme, il faut que tu précises la valeur prédictive positive et la valeur prédictive négative, sinon ça ne marche pas 🙂 Pour l'instant, ce n'est pas malin de la part de ton statisticien de faire ouf ! 
Je suppose que les 99% de fiabilité concernent la sensibilité du test. Si sa spécificité est de 100%, alors la personne est malade, pas de ouf. 

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il y a 39 minutes, Aurélien B. (TanMai) a dit :

Là-dessus le statisticien pousse un ouf de soulagement.

Pourquoi ?

 

il y a 18 minutes, Christian GIRARD a dit :

(De mémoire j'ai posté dans VM deux interventions vidéo relatives à cette énigme contre-intuitive, l'une de Gérald Bronner et l'autre d'Étienne Klein.)

 

il y a 1 minute, Zacharie SIMMONS a dit :

Il manque des choses dans ton énigme, il faut que tu précises la valeur prédictive positive et la valeur prédictive négative, sinon ça ne marche pas 🙂 Pour l'instant, ce n'est pas malin de la part de ton statisticien de faire ouf ! 
Je suppose que les 99% de fiabilité concernent la sensibilité du test. Si sa spécificité est de 100%, alors la personne est malade, pas de ouf. 

Merci pour cette énigme ! 😀

Est-ce que quelqu'un pourrait m'envoyer la réponse par MP ou la poster ici avec un masque anti-spoil ? 🙂

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il y a une heure, Aurélien B. (TanMai) a dit :

Par simple précaution, un statisticien effectue un dépistage du covid. Il reçoit alors la lettre suivante:

Monsieur,
Nous avons tenter de dépister chez vous le covid qui touche une personne sur 10.000. Malheureusement, le test de dépistage que nous vous avons fait subir, fiable à 99%, s'est révélé positif.

...

Là-dessus le statisticien pousse un ouf de soulagement.

Pourquoi ?

Et en fait, ce paradoxe n'en est pas un, parce que dans tous les cas le statisticien n'a pas raison de dire ouf. Même si la probabilité de faux positif est grande, le fait de se voir attribuer un test positif fait augmenter la probabilité d'être malade. 

Les chiffres permettent de relativiser, de mieux appréhender la réalité des tests, mais présenter l'affaire sous la forme d'un paradoxe ne tient pas la route, parce qu'on a bien un résultat qui va dans le sens que l'on attendait (même s'il est moindre que ce que l'on espérait).

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il y a une heure, Christian GIRARD a dit :

Gérald Bronner

Vidéo à partir de 23' 31'', il est question de pommes de terre :

 

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Publié le (modifié)

Faites ch.er les gars, il y a moins de remarques pertinentes quand on soumet ce problème à des non matheux. 🤣

C'est bien simple, j'ai l'impression de faire un tour à des magiciens... 😋😉 

Il y a 5 heures, Zacharie SIMMONS a dit :

Il manque des choses dans ton énigme, il faut que tu précises la valeur prédictive positive et la valeur prédictive négative

On ne va pas débattre là-dessus: tu as rigoureusement raison. 😉

Ici le problème est posé de manière "simplifiée" pour qu'il soit plus accessible à résoudre. Le raccourci implicite (et fallatieux tu as raison) est que le taux de détections manquées est négligé. Toutefois il serait rigoureusement résolvable en prenant la même valeur pour les fausses détections et pour les détections manquées, ça ne change quasiment rien à l'ordre de grandeur du résultat final.

Il y a 5 heures, Zacharie SIMMONS a dit :

Et en fait, ce paradoxe n'en est pas un, parce que dans tous les cas le statisticien n'a pas raison de dire ouf.

Ok, énoncé plus clairement: quelle est la probabilité que notre statisticien soit réellement malade ? Car lorsqu'on a la réponse, on comprend mieux ce "ouf" de soulagement.

 

Modifié par Aurélien B. (TanMai)

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Publié le (modifié)
Il y a 1 heure, Mickaël MCD a dit :

Est-ce que quelqu'un pourrait m'envoyer la réponse par MP ou la poster ici avec un masque anti-spoil ? 🙂

La méthode "simplifiée", pas rigoureuse (@Zacharie SIMMONS 😉 ), mais qui donne un ordre de grandeur assez exact:

Révélation

Comme le test est fiable à 99%, cela signifie que sur 10.000 personnes, nous aurons 1% de personnes qui seront diagnostiquées positives, à tort. Dit autrement: sur 10.000 personnes, il y aura 100 personnes qui seront positives, mais saines.

Or parmi ces 10.000 personnes, une seule personne sera réellement infectée par le virus. Par approximation, on considère qu'elle fera partie des 100 personnes testées positives.

Nous aurons donc 100 personnes testées positives, mais une seule personne parmi elles sera réellement malade.

Donc la réception d'un résultat positif signifie 1% de chance d'être réellement malade.

"Ouf". 

La méthode rigoureuse:

(où on retire la partie "par approximation" du raisonnement précédent)

Révélation

On considère que le taux de d'erreur :

= taux de fausse détection sur un patient sain

= taux de non détection sur un patient infecté

= 1%

Pour raisonner sur des nombres entiers on va donc passer à 1.000.000 de patients.

Sur ce million, on aura:

  • 100 malades, parmi lesquels:
    • 99 seront testés positifs (vrais positifs)
    • 1 seul sera testé négatif  (faux négatifs)

(détail du calcul, respectivement: 100*99% et 100*1%)

  • 999.900 personnes saines parmi lesquelles:
    • 989901 seront testées négatives (vrais négatifs)
    • 9.999 seront testées faussement positives (faux positifs)

(détail du calcul, respectivement: 999.900*99% et 999900*1%)

Lorsqu'un patient reçoit un test positif, il pourra donc faire parti soit:

  • des 99 vrais positifs (malade)
  • des 9.999 faux positifs (sain)

Le risque d'être réellement malade est donc 99/9.999 = 0,99% (ce qui n'est finalement pas très éloigné du 1% trouvé au raisonnement "simplifié" 😉 )

"Ouf" (celui-là c'est pour être arrivé à la fin du raisonnement 😅)

 

 

Modifié par Aurélien B. (TanMai)
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